Релятивистское выражение для энергии. Умножим обе части (10.47) на перемещение частицы dr=Vdt:

Умножим обе части (10.47) на перемещение частицы dr=Vdt:

.

Правая часть (10.48) равна элементарной работе dA силы Fна перемещении dr. По закону сохранения энергии эта работа идет на увеличение полной энергии частицы:

Fds= dE.

следовательно:

.

Таким образом, приходим к соотношению:

.

Интегрируя обе части (10.48), получим:

.

Соотношение (10.49) оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если постоянная интегрирования равна нулю.

Итак:

.

При V=0 соотношение (10.50) принимает вид:

,

где использовано обозначение E₀ для неподвижного тела. Эту энергию называют энергиейпокоя или собственной энергией тела. Энергия покоя – это внутренняя энергия, не связанная с перемещением тела в пространстве как целого и/или его положением во внешнем потенциальном поле. В нее входит потенциальная энергия взаимодействия частиц тела между собой и кинетическая энергия движения этих частиц около общего центра масс.

Кинетическую энергию тела определяют как разность полной релятивистской энергии (10.50) и энергии покоя (10.51):

.

При малых скоростях (b®0), можно, используя приближенную формулу

,

где х=b² привести соотношение (10.53) к обычному виду классической механики Ньютона:

Сравнивая (10.50) с выражением для импульса (10.43), получим:

.