Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества коренным образом изменила представления о свойствах

Подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов. Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны, то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

В.Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласносоотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:

, , , (2.1)

где Dx, Dу, Dz – неопределенности координат частицы, а , , - неопределенность компоненты импульса. Произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h. То есть,чем точнее мы знаем координату, тем менее определена проекция импульса и наоборот. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной Dх, расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис.). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны Бройля l электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем из-за незначительной интенсивности по сравнению с главным максимумом).

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса р_х=0, так что =0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направление оси Х определяется с точностью до ширины щели, т.е. с точностью Dх. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2j(j – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси Y, которая, как следует из рис. и формулы (3.2), равна

. (2.2)

Ограничимся рассмотрением электронов, попадающих на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяющему условию

, (2.3)

где Dх–ширина щели, а l – длина волныде Бройля. Из формул(2.2) и (2.3) получим ,

где учтено, что для некоторой незначительной части электронов, попадающих за пределы главного максимума, . Следовательно, получаем выражение

то есть соотношение неопределенностей (2.1).

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Оно является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам и , позволяет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется н любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (2.1) в виде

(2.4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Например, для пылинки массой 10^–12 кг и линейными размерами 10^–6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (Dх=10^–8 м), неопределенность скорости Du_х=6,62·10^–34/(10^–8·10^–12)м/с=6,62·10^–34м/с, т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми частица может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью u=10⁸ м/с, определяемой с точностью до 0,01% (Du_х»10⁴ м/с). По формуле (2.4) найдем точность определения координаты электрона:

=6,62·10^–34/(9,11·10^–31·10⁴)=7,27·10^–6 м

Полученной точности (тысячные доли миллиметра) достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, то есть, описывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Dх»10^–10м (порядка размеров самого атома). Тогда Du_х=6,62·10^–34/(9,11·10^–31·10^–10)=7,27·10⁷ м/с. Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса »5·10^–10 м его скорость u»2,3·10⁶ м/с, т.е. неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости, поэтому что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории. Для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

(2.5)

где DЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DЕ=h/Dt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (4.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn =DЕ /h, т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной n±DЕ /h. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.