Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол с плоскостью нормального сечения (рис. 2.10, а).

Из условия , записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.10, б), получим:

, (2.19)

где A - площадь поперечного сечения стержня, - площадь наклонного сечения. Из (2.19) легко установить:

. (2.20)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.10, в), с учетом (2.20) получим:

; . (2.21)

Рис. 2.10

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При из (2.21) следует, что , . При , т.е. на продольных площадках, . Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при , и их величина составляет . Важно отметить, что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 2.11).

Если обозначить:

; ; ,

то, как показывают эксперименты, = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Величина является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов принимает значения 0,1...0,45.

Рис. 2.11

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.12, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.12

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А¢, B¢, C¢ соответственно. Величина

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А¢ и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А¢B¢(рис. 2.12, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А¢B¢. Из рис. 2.12, б имеем: