Графическое изображение электростатических полей

Для графического изображения электростатических полей используют линии вектора - они проводятся так, чтобы в каждой точке вектор был направлен по касательной к ним (рис. 6.2). Линии вектора нигде не пересекаются, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Примеры графического изображения полей точечных зарядов приведены на рис. 6.2б,в,г.

В случае однородного поля (рис. 6.2∂) в каждой точке которого вектор одинаков и по модулю, и по направлению, линии представляют собой прямые, параллельные друг другу и отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии.

Рис. 6.2

Обычно линии проводят так, чтобы их густота в каждой точке поля определяла числовое значение вектора . Под густотой линий понимают количество линий, пронизывающих перпендикулярную к ним плоскую поверхность фиксированной площади.

На рис. 6.2 пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это поверхность равного потенциала, в каждой точке поверхности потенциал φ будет одинаковым. Поэтому элементарная работа по перемещению заряда qпо такой поверхности будет равна нулю: dA= – qdφ= 0. Соответственно вектор в каждой точке поверхности будет перпендикулярен к ней, то есть будет направлен по вектору нормали (рис. 6.2е).

Условились проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была одинаковой.

Лекция 7

7.1. Поток и циркуляция вектора электростатического поля.

Теорема Гаусса длявектора

Возьмем произвольный контур Г и произвольную поверхность Sв неоднородном электростатическом поле (см. рис. 7.1а,б).

Тогда циркуляцией вектора по произвольному контуру Г называют интеграл вида

(7.1)

а потоком Ф_Е вектора через произвольную поверхность Sследующее выражение:

(7.2)

Входящие в эти формулы векторы и определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dlконтура Г и площади dSэлементарной поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура Г, а вектор направлен по вектору нормали к площадке dS(рис. 7.1).

В случае электростатического поля циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру Г в соответствии с формулой (6.4) будет равна нулю:

(7.1а)

где А_круг – работа сил поля по перемещению точечного заряда qпо этому контуру.

Как отмечено в Прил., этот факт является признаком потенциальности электростатического поля. Следовательно, электрические заряды в электростатическом поле обладают потенциальной энергией.

Уравнение (7.1а) в дифференциальной форме, справедливой для малой окрестности какой-либо точки электростатического поля, можно записать следующим образом (см. Прил. ):

(7.1б)

Теорема Гаусса в отсутствии диэлектрика (вакуум) формулируется следующим образом: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов , охватываемых этой поверхностью и деленной на ε₀:

(7.2)

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q(рис. 7.2а).

Тогда

(7.3)

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис. 7.2б), так как поток вектора численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность, а число линий в случаях (а)и (б) одинаково.

Подобные рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса.

Запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса, справедливую для любой малой окрестности какой-либо точки поля. С учетом формулы (П.10) Прил. получим

(7.4)

где введена объемная плотность ρ свободных электрических зарядов

то есть это заряд, содержащийся в единице объема.

7.2. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

Пример 1. Электрическое поле равномерно заряженной по поверхности бесконечно протяженной плоскости.

то есть σпредставляет собой заряд, приходящийся на единицу поверхности. Если плоскость заряжена равномерно, то тогда во всех ее точках σбудет одинаковой (σ= const), и поэтому поле такой бесконечно протяженной плоскости является однородным – линии представляют прямые, перпендикулярные к ней (рис. 7.3).

2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к плоскости (рис. 7.3). Тогда поток Ф_Е через боковую поверхность будет равен нулю (α =90⁰, линии не пересекают боковой поверхности), и поэтому остается поток только через основание площади S₁ = S₂ = S:

3-й этап. Рассчитаем заряд плоскости, попадающий внутрь цилиндра:

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора :

(7.5)

здесь учтен случай отрицательно заряженной плоскости.

Формула (7.5) позволяет провести расчет поля плоского конденсатора как поля двух параллельных плоскостей с равными по модулю и противоположными по знаку поверхностными зарядами (рис. 7.4а).

Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно сделать вывод о том, что поле конденсатора существует между его пластинами (рис. 7.4б), а модуль вектора этого поля

(7.6)

где - модуль заряда одной из пластин конденсатора площадью S. Между обкладками конденсатора вакуум или газ.

Оценим разность потенциалов φ₁ – φ₂ (или напряжение U) между обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии dдруг от друга. Для этого используем формулы (6.5) и (7.6):

(7.7)

Пример 2. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямолинейной нити.

1-й этап. Введем линейную плотность заряда нити. Для этого на заряженной нити выбираем элемент длины dl, содержащий заряд dq, и рассчитаем τпо формуле

.

Для равномерно заряженной нити во всех ее точках τбудет одинаковой (τ = const), поэтому поле такой нити обладает осевой симметрией: линии представляют собой прямые, выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (рис. 7.5а).

На одинаковых расстояниях от нити, то есть на цилиндрических поверхностях, модуль будет одинаковым.

2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, имеющего высоту Hи радиус r, ось цилиндра совпадает с нитью. Поток Ф_Е через основания цилиндра равен нулю (α=90⁰), поэтому остается поток только через боковую поверхность:

3-й этап. Рассчитаем заряд отрезка нити длины H, попадающий внутрь цилиндра:

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора :

(7.8)

Формула (7.8) позволяет оценить разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r₁ и r₂ от нити (рис. 7.5а):

(7.9)