Позиционные системы счисления. Для представления чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления

Для представления чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Система называется позиционной, если значение каждой ее цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу старшего разряда, например:

354 = 3*10² +5*10¹ +4*10⁰

Таким образом, десятичная запись любого числа X основана на представлении этого числа в виде полинома:

X = a_m*10^m+a_m-1*10^m-1+…+a₁*10¹ + a₀*10⁰+ a _-1*10 ^-1 …+a _-m*10 ^–m, (2.1)

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел 0, 1, 2, …9.

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Запись произвольного числа в К-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

X = a_m*K^m+a_m-1*K^m-1+…+a₁*K¹ + a₀*K⁰ + a_-1*К^-1+…+a_-m*K^–m (2.2)

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел 0, 1, 2, …К-1.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Это связано с тем, что в таких устройствах используются элементы с двумя устойчивыми состояниями (например, есть заряд на конденсаторе или нет). Двоичная система - это система с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1.

Произвольное число в двоичной системе счисления представляется в виде полинома:

X = a_m*2^m + a_m-1*2^m-1 +…+ a₁*2¹ + a₀*2⁰ + a_-1* 2^-1 +…+ a _-m*2^–m (2.3)

Примеры чисел в двоичной системе счисления:

1 = 1₂

2 = 10₂

3 = 11₂

4 = 100₂

5 = 101₂

0.5 = 0.1₂

0.25 = 0.01₂

Таблица сложений чисел в двоичной системе счисления имеет вид:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Таблица умножений чисел в двоичной системе счисления имеет вид:

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

В вычислительной технике используются и другие позиционные системы: восьмеричная или шестнадцатеричная. В восьмеричной системе счисления базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами из базисного набора.

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Для обозначения первых девяти чисел используются арабские числа от нуля до девяти, остальные обозначаются латинскими буквами a, b, c, d, e, f.