МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР МЕН ТОЛҚЫНДАР

1. Гармониялық тербеліс.Белгілі уақыт аралығында дәлме-дәл қайталанып отыратын қозғалыстарды тербеліс деп атайды. Мұндай қозғалыстар уақыттың белгілі мезетінде ғана өтіп отырады. Қабырға сағатының маятнигінің қозғалысы, қатты дененің молекулаларының қозғалысы, белгілі бір уақыт аралығындағы дүркін-дүркін қайталанып отыратын қозғалыстар тербелістерге мысал бола алады. Олай болса, дененің қозғалыс күйінің тең уақыт аралығында қайталанып отыруын периодты тербелістер деп атайды. Тербелістегі дененің іргелес екі қозғалыс күйінің аралығындағы уақыт период (Т) деп аталады. Немесе, толық бір тербеліске кететін уақыт тербеліс периоды деп аталады. Периодты қозғалыс заңдылығын математикалық түрде мынадай теңдік арқылы жазуға болады: F(t+T)=f (T), мұндағы Т-тербеліс периоды.

Көптеген тербелмелі қозғалыстардың негізгі түрі гармониялық тербеліс. Гармониялық тербелмелі қозғалыс деп нүкте қозғалысының тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасының синусоида немесе косинусоида бойымен периодты түрде қайталанып отыруын айтамыз.

Егер тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасын х арқылы белгілесек, онда осы ауытқудың уақытқа байланысты өзгеруі мына формуламен өрнектеледі: х=Acos(wt+j₀) немесе у=Аcos(wt+j₀) (6.1)Енді қозғалыстағы нүктенің кинематикасын қарастырайық. А нүктесі радиусы R шеңбер бойымен тұрақты w бұрыштық жылдамдықпен сағат тіліне қарсы бағытта бір қалыпты қозғалысын (12-сурет). Егер алғашқы t=0 уақыт мезетінде оның орны К₀-ге сәйкес келсе, онда нүкте t уақыттан кейін шеңбер бойымен қозғала отырып j=wt бұрышына бұрылады.

B w К₁ нүктесінің Х және Y осьтеріндегі проекциаларын

М және N арқылы белгілейік. К₁ нүктесі шеңбер

N К₁ бойымен қозғалғандықтан М, N нүктелері Х,Y

осьтері бойынша периодты түрде қайталанып орын

ауыстырады. Сөйтіп, М,N нүктелері О нүктесінің

j маңында Х,Y осьтері бойымен тербелмелі қозғалыс

K₀ жасайды. Олай болса, М және N нүктелерінің

уақытқа байланысты ауытқуы (6.1) формулалар

бойынша анықталады, яғни 12-суретте көрсетілген-

дей, бұл формулаларды мына түрде жазуға болады:

12-сурет OM=x=Acosj=Acoswt; ON=y=Asinj=Asinwt

Егер t=0 мезетте тербелістегі нүкте өзінің тепе-теңдік қалпында болмаса, онда оның алғашқы фазасы (j₀) туралы сөз болады. Сонда соңғы теңдеулер (6.1) формулаға ұқсас болып шығады.

Сонымен, егер нүкте шеңбер бойымен бір қалыпты айналмалы қозғала-тын болса, онда оның диаметрге түсірілген проекциалары сол диаметр бойымен гармониялық тербелмелі қозғалыс жасайды. Бұл айтылған пікір гармониялық тербелмелі қозғалыстың кинематикалық анықтамасын сипаттайды.

Тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ең үлкен ауытқуын оның амплитудасы A деп атайды. Ал тербеліс периодына кері шама тербеліс жиілігі n делінеді. Бұл шама бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санын көрсетеді. Егер нүкте шеңберді толық бір айналып шықса, онда j=2p, олай болса бұрыштық жылдамдық мына түрде жазылады: w=2p/Т=2pn (6.2)

өйткені n=1/T тең. Сонымен (6.1) формуладағы А-тербелістегі нүктенің амплитудасы, wt+j₀ -оның фазасы, ал j₀-тербелістің бастапқы фазасы.

2. Гармониялық тербеліс жылдамдығы мен үдеуі. Енді гармониялық тербелмелі қозғалыс жасайтын нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анық-тайық. Ол үшін v=dx/dt және a=dv/dt ескеріп, (6.1) формуланы жазайық.

v=dx/d=Awcos(wt+j₀)=(2p/T)Acos(wt+j₀) (6.3)

a=dv/dt=-Aw²sin(wt+j₀)=w² x=-(4p/T²)x (6.4)

(6.4) формуладағы (-) таңбасы үдеудің ауытқудың бағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді.

Сөйтіп, гармониялық тербелістегі нүктенің жылдамдығы тепе-теңдік қалыптың маңында, ал үдеуі ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады. Енді нүктенің қандай күштің әсерінен гармониялық тербеліске келетіндігін табайық. Ньютонның екінші заңы бойынша F=ma.

(6.4) формуланы пайдаланып бұл теңдікті былай жазайық:

F=-mAw²sin(wt+j₀)=-ma²x (6.5)

Бұдан тербелістегі нүктеге әсер етуші күш оның ауытқу шамасына тура про-порционал және әрдайым тепе-теңдік қалыпқа қарай бағытталады. Сондық-тан мұндай күшті қайтарушы күш деп атайды. Олай болса, күштің периоды мен фазасы үдеудің периоды мен фазасына дәл келіп отырады.

Мысал ретінде (6.5) теңдікті қанағаттандыратын серпімді күштерді, яғни Гук заңын алайық: F=-kx. (6.6) мұндағы k=ma²-қа тең.

Егер тербеліс Х осінің бойымен түзу сызықты болады десек, онда үдеу a=d²x/dt² болар еді. Сонда Ньютонның екінші заңы бойынша:

m(d²x/dt²)=- kx; m(d²x/dt²)+kx=0 (6.7)

Осы формула гармониялық тербелмелі қозғалыстың дифференциал теңдеуі деп аталады.

Сонымен, гармониялық тербеліске мынадай динамикалық анықтама беруге болады. Нүктенің гармониялық тербелісі деп ауытқу шамасына пропорционал күштің әсерімен тепе-теңдік қалыптың маңында тербелетін және тербелістің орташа мәніне қарай бағытталған тербелісті айтамыз.

3. Тербеліс энергиясы.Тербелістегі кез келген материалдық нүктенің кинетикалық энергиясы: W_k=mv²/2. Жылдамдық v=Acos(wt+j₀) болғандықтан W_k=(m/2)A²w²cos²(wt+j₀)=(2p²A²/T²)mcos²(wt+j₀) (6.8)

Сонда тербелістегі нүктенің ауытқуының шеткі мәндерінде кинетикалық энергия нольге тең, ал тепе-теңдік қалыптың маңында максимум мәніне ие болады. Сонымен қатар тербелуші нүктенің потенциалдық энергиясы да бар. Потенциалдық энергия дененің орын ауыстыруы үшін ауытқуды туғызатын сыртқы күштердің істейтін жұмысының шамасымен өлшенеді:

_{x x}

A = W_P =ò Fdx = ò kxdx =(1/2) kx² (6.9)

^{0 0}

Жоғарыда айтылған w=2p/T, k=ma², F=-kx және х=А sin (wt+j₀) өрнектерін пайдалансақ, потенциалдық энергияның шамасын былайша жазуға болады:

W_P=(1/2)kx²=(m/2)w²A²sin²(wt+j₀)=(2p²A² /T²)msin²(wt+j₀) (6.10)

Бұдан тербелістегі нүктенің потенциалдық энергиясы ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады да, тепе-теңдік қалыптың маңында нольге тең болады.

Енді тербелістегі материалдық нүктенің толық энергиясын жазатын болсақ, онда W=W_k+W_Р , яғни

W=(2p²A²/T²)mcos²(wt+j₀)+(2p²A²/T²)msin²(wt+j₀)=

= (2p²A²/T²)m[cos²(wt+j₀)+sin²(wt+j₀)] =(2p²A²m/T²) m

Сонда n=1/Т және cos²(wt+j₀)+sin²(wt+j₀)=1 десек, онда толық энергия

W=2p²A² n² m (6.11)

Сонымен гармониялық тербелістегі нүктенің толық энергиясы нүктенің массасына, амплитуда мен тербеліс жилігі квадраттарына пропорционал болады.

4. Өшетін тербелістің дифференциалдық теңдеуі.Біз өткен тақырып-тарда тербелістің амплитудасы тұрақты болатындығын айттық. Бірақ нақты

жағдайда тербелістегі денеге кедергі күштердің әсерінен амплитуданың

шамасы азайып, тербеліс бірте-бірте өше бастайды. Ал кедергі күшінің шамасы жылдамдыққа тура пропорционал екендігін білеміз, сонда

F_k=-rv(6.12)

мұндағы r-кедергі коэффициенті, минус таңбасы кедергі күшінің қозғалыс бағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді. Енді тербеліс теңдеуін Ньютонның екінші заңы бойынша жазайық: ma=F+F_k (6.13)

мұндағы m-тербелістегі дененің массасы, а-оның үдеуі, F-қайтарушы күш, ол сан жағынан F=-kx, мұндағы k -серпімділік коэффициенті.

Тербелістегі дененің v=dx/dt және a=d²x/dt² деп, қайтарушы және кедергі күштердің мәнін қойып, (6.13) теңдеуді мына түрде жазамыз, яғни

md²x/dt²+r dx/dt+ kx=0 (6.14)

Осы формула өшетін тербелістің дифференциал теңдеуі деп аталады.

Егер бұл теңдеуді шешетін болсақ, онда нүкте тербелісінің ауытқу шама- сының уақытқа байланысын былай көрсетуге болады: x=A₀e^{(- bt / 2m)}sin(wt+j₀)

мұндағы е-натурал логарифмнің негізі, А₀-тербелістің бастапқы амплитудасы. Ал өшетін тербелістің дөңгелектік жиілігі мына формуламен анықталады: w=Ö (k/m)+(b²/4m² ) (6.15)

Бұдан, егер k/m=b²/4m² болса, онда w=0, сөйтіп Т®¥ ұмтылады. Бірақ көптеген практикалық жағдайларда k/m>b²/4m², w~w₀ шамалас болады, яғни w₀=k/m. Мұндағы w₀ -еркін тербелістің жиілігі. А=А_о×е^-bt/2m шамасы t уақыт өткенде өшетін тербелістің амплитудасы.

Енді бір t уақыт мезетінде тербеліс периоды Т-ға артады деп есептеп, амплитудасын салыстыратын болсақ, онда берілген тербеліс үшін At/A(t+T)=e^bT/2m=const болатындығын байқаймыз. Сонда мынашама

d=In e^bt/2m= bT/2m (6.16)

өшетін тербелістің логарифмдік декременті деп аталады да, ол тербелістің өшу тездігін сипаттайды.

5. Еріксіз тербелістің дифференциалдық теңдеуі. Резонанс.Үздіксіз өшпейтін тербеліс болу үшін кедергі күшін жеңе отырып, тербелуші денені қосымша күш арқылы қозғалысқа келтіру қажет. Себебі әсер етуші күштің нәтижесінде істелінген жұмыс кедергіні жеңуге кеткен энергия қорын толтырып отырады.

Олай болса, айнымалы қосымша күш арқылы үздіксіз тербелетін тербелісті еріксіз тербеліс, ал әсер етуші күшті мәжбүр етуші күш деп атайды. Сонда бұл күштің шамасы уақытқа байланысты гармоникалық заң бойынша мына түрде жазылады: F=F_osinwt, мұндағы F_o-мәжбүр етуші күштің амплитудасы, w-оның дөңгелек жиілігі.

Әрине, бұл кезде w¹w₀ тербелістің алғашқы кезде соғуы болады да, кейінірек амплитудасы тұрақты еріксіз тербеліс қалыптасады.

Ньютонның екінші заңын еріксіз тербеліс үшін былай жазуға болады:

m(d²x/dt²⁾=-kx- b(dx/dt)+F₀ sin wt (6.17)

Бұл формула еріксіз тербелістің дифференциал теңдеуі деп аталады.

Теңдеуді шешсек, онда ауытқудың уақытқа байланысын былай өрнектеуге болады: х=Asin(wt+j₀) (6.18)

Еріксіз тербелістің амплитудасы

A=F₀/mÖ w²₀ +w² +bw²/m²(6.19)

бастапқы фазасы tg j=b / m (w²₀ +w ) (6.20)

(6.20) формуладан w®w₀ онда еріксіз тербелістің амплитудасы өседі. Егер b=0, яғни кедергі күш жоқ болса, w=w₀ болып A_max артып, шексіз өседі.

Сөйтіп еріксіз тербеліс кезінде w=w₀ болады, амплитуданың артуы резонанс құбылысы деп аталады.

6. Серпімді толқындар.Тербелістердің серпімді ортада таралуын толқындық процесс деп атайды. Тербеліс тараған кезде тербелуші бөлшектер тербеліс процесімен бірге орын ауыстырмай, өздерінің тепе-теңдік қалпының маңында тербеледі.

Егер бөлшектер тербеліс таралатын түзудің бойымен тербелетін болса, онда мұндай толқынды қума толқын деп атайды. Ал егер бөлшектердің тербелісі тербелістің таралу бағытына перпендикуляр болса, онда мұндай толқын көлденең толқын деп аталады.

Ортада таралатын толқындардың көлдененң немесе қума толқын болуы ортаның серпімділік қасиеттеріне байланысты болады. Сұйықтар мен газдарда тек қума толқындар тарайды, ал қатты денелерде көлденең толқындармен қатар қума толқындар тарай алады.

Тербелістің бір фазасының бір тербеліс периоды ішінде таралатын ара қашықтығы толқын ұзындығы деп аталады: l=vT (6.21)

мұндағы v-толқынның таралу жылдамдығы, Т-периоды. Егер n=1/Т екенін ескерсек, v=ln.

Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар жүгірме толқын деп аталады. Толқындарда энергия тасымалдау сан жағынан энергия ағынының тығыздық векторымен сипатталады.Бұл вектор Умов векторы деп аталады. Умов векторының бағыты энергия тасымалдау бағытымен сәйкес келеді, ал оның модулі толқын таралатын бағытқа перпендикуляр орналасқан беттің бірлік ауданы арқылы бірлік уақыт ішінде тасымалданатын энергияға тең. Х жазықтығында жатқан бөлшек тербелісінің теңдеуі мына түрде жазылады:

x(x,t)=A cosw(t-x/v) (6.22)

Осы теңдеу жүгірме толқынның теңдеуі болып табылады. Егер жазық толқын кері бағытта таралса, онда x(x,t)=A cosw(t+x/v)

Жалпы жағдайда ортада х осінің бойымен оң бағытта таралатын жазық толқынның теңдеуі мынадай болады:

x(x,t)=A cos [w (t-x/v+j₀) (6.23)

Толқынның сипаттамасы үшін толқындық сан енгізіледі

k=2p/l=2p/vT=w/v (6.24)

Толқындық беті концентрлі сфера болып келген толқын-сфералық толқындар деп аталады, сфералық толқын теңдеуі:

x(r,t)=A₀/r cos (wt-kr+j₀) (6.23)

мұндағы r-толқын центрінен ортаның қарастырып отырған нүктеге дейінгі ара қашықтық. (6.23) өрнектен фазалық жылдамдықтың форомуласы шығады: v=w/k, ал топтық жылдамдықты жазатын болсақ, dx/dt=dw/dk=u.

Жиіліктері мен амплитудалары бірдей бір-біріне қарама-қарсы бағытта таралатын екі жүгірме толқынның қабаттасуы нәтижесінде пайда болатын толқын-тұрғын толқын деп аталады. Тұрғын толқынның теңдеуі:

x=x₁+x₂=2Acoskxcoswt=2Acos(2px/l)coswt (6.24)

Тербеліс амплитудасы максимал болатын нүктелер тұрғын толқын шоғыры деп аталады, ал тербеліс амплитудасы нольге тең болатын нүктелер тұрғын толқын түйіні деп аталады. Шоғыр мен түйін координаталары:

x_ш=±ml/2, x_түй=±(m+1/2)l/2