Образование энергетических зон в кристаллах.

Рассмотрим образование и строение энергетических зон в кристаллах.

Рассмотрим качественно, как образуются энергетические зоны. Пусть N атомов составляют правильную пространственную решетку и расположены на больших (макроскопических) расстояниях друг от друга.

Если однородно сжимать такую решетку, сохраняя геометрическое подобие то в процессе сближения атомов усиливается их взаимодействие, что и обуславливает трансформацию энергетического спектра электронов изолированного атома в электронный спектр кристалла, рис. 2.1

Рис. 2.1. Схема образования энергетических зон кристалла из атомных уровней при сближении атомов.

В каждом атоме имеются различные уровни энергии (соответствуюшие электронным уровням) Е_М, Е_L, Е_K и т.д. (рис.1)

В изолированном атоме электрон пребывает на стационарном уровне Е_a неограниченно долгое время.

Чтобы покинуть атом электрону надо сообщить энергию для преодоления потенциального барьера.

Благодаря тому, что атомы в веществе расположены близко друг к другу, и их внешние электронные оболочки перекрываются, возникает межатомная связь.

В результате этого характер движения электронов в кристалле меняется: электроны, находящиеся на определенном энергетическом уровне одного атома, получают возможность переходить без затраты энергии на соответствующий уровень соседнего атома и, таким образом, - свободно перемещаться по объему всего твердого тела, т.е. обмениваться местами.

Явление просачивания частицы сквозь потенциальный барьер,чисто квантовоеявлениеи называется туннельным эффектом.

При этом сокращается время пребывания электрона на данном узле решетки. Время пребывания электрона вблизи данного узла t связано с размытием, или шириной уровня DЕ:

tDЕ ~ , (2.3)

где = h/2p

*) h = 6,625.10^-24– постоянная Планка (или квант действия),

(2.3) это соотношение неопределенности (соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии Е и времени t)

Это означает (2.3), что - энергия частицы, в каком либо состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находиться в этом состоянии.

Следовательно, уменьшение t при образовании кристалла из изолированных атомов приводит к расширению уровня Е_a в зону шириной DЕ_a.

Т.е. в результате переходов электронов при сближении атомов одинаковые уровни энергии расщепляются.

Число атомов в кристалле: (10²²- 10²³) / кубический сантиметр.

Каждый атомный уровень расщепляется на N уровней, расстояние между которыми тем меньше, чем больше число атомов.

В пределе N ® ¥ они (уровни) слипаются образуя зоны разрешенных значения энергий, ширина которых тем больше, чем больше взаимодействие между соседними атомами.

На каждый уровень в зоне может поместиться два электрона (квант. физика, принцип Паули), а всего в зону - 2N электронов.

Важно: для расщепления уровня на N уровней нет необходимости, чтобы все N атомов были близки друг к другу; достаточно, чтобы к любому можно было “добраться” через соседей. Величина максимального расщепления определяется взаимодействием атомов - соседей

Для валентных электронов ширина разрешенной энергетической зоны составляет несколько электрон-вольт: пусть DЕ ~ /t ~ 1 эВ.

Тогда, расстояние между уровнями - бесконечно мало (DЕ/N ~ 10^-22 эВ), так что зону можно считать квазинепрерывной.

Для электронов внутренних атомных оболочек потенциальный барьер шире и выше, и вероятность туннельного эффекта намного меньше, чем для валентных электронов. Вследствие этого электроны глубоких уровней практически связаны с определенными узлами решетки. Так К-электрон натрия переходит от одного узла к другому в среднем за t ~ 1 час, а DЕ ~ 10^-19 эВ, т. е. К-уровень в кристалле остается практически резким. Однако и на глубоких уровнях в стационарном состоянии электрон распределен с одинаковой вероятностью по всем узлам кристаллической решетки.

Пример:

Частота переходов электронов f от одного атома к другому пропорциональна вероятности туннелирования через потенциальный барьер (ПБ) DЕ_п.

Можно показать, что при высоте ПБ DЕп ~ 10 Эв время нахождения электрона в определенном узле решетки всего лишь

t = 1/f ~ 10^-15 секунд. . (2.4)

Т.е. электроны внешних атомных оболочек не локализуются вблизи определенного узла решетки, а движутся по кристаллу.

При радиусе боровской орбиты (атом модели Бора) b ~ 10^{-8 см скорость движения электронов}

v ~ b/t= 10^-8/10^-15 ~ 10⁷ см/с. (2.5)

Справка: скорость электрона в атоме v ~ 10⁸ см/с,

Валентная зонаизона проводимости

Нас будут интересовать валентная зонаизона проводимостизонной диаграммы

Рис 2.2 Зонная диаграмма диэлектрика и полупроводника (х- координата кристалла)