ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга. По величине заряд в 9 раз больше заряда . Третий заряд может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда , при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Заряд будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (см. рис.) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд положительный.

На участке I (рис. а) на заряд будет действовать две противоположно направленные силы и . Сила , действующая со стороны заряда , в любой точке этого участка больше силы , действующей со стороны заряда , так как больший будет всегда находиться ближе к заряду , чем меньший заряд . Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. б) обе силы и направлены в одну сторону: к заряду . Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. с) силы и направлены в противоположные стороны, так же, как и на участке I, но здесь меньший заряд будет находиться всегда ближе к заряду , чем больший заряд . Это значит, что на этом участке можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т.е. . Пусть и – расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда . Выразив в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим , или , откуда ; . Корень не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы и хотя и равны по абсолютной величине, но направлены в одну сторону).

Определим теперь знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в это положение. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.

Если заряд положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают, но возрастает медленнее (заряд всегда находится дальше, чем заряд ). Следовательно, (по абсолютному значению) больше, чем , и на заряд будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Сила будет убывать быстрее, чем . Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила будет возрастать медленнее, чем , т.е. |F₂| > |F₁|. Результирующая сила направлена вправо. Под действием этой силы заряд возвращается к положению равновесия. При смещении вправо сила убывает быстрее, чем ,т.е. |F₁|>|F₂|. Результирующая сила направлена влево, и заряд опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда несущественна.

Пример 2. Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии. Заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (см. рис.):

, где , , – силы, с которыми действуют на заряд соответственно заряды , , ; – равнодействующая сил и . Так как силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, векторное равенство можно заменить скалярным: , откуда: .

Выразим в последнем равенстве как сумму проекций сил и на направление диагонали ромба

Применив закон Кулона и, так как , найдем , откуда .

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что .

Подставим в формулу: _.

Произведем вычисления:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 3. Два одинаковых шарика массой подвешены на нитях длиной . После того, как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние . Определить заряды шариков.

Дано: ; ; .

Найти: – ?

Решение: На каждый из отклоненных шариков действуют: – сила тяжести; – сила натяжения нити; – электрическая сила взаимодействия шариков (см. рис.). Запишем условие равновесия шариков под действием приложенных сил в векторной форме:

Запишем это уравнение в проекциях на выбранные направления осей х и у: ; (1). Учитывая, что запишем уравнение (1) в виде:

; . (2)

Разделив почленно первое из уравнений (2) на второе, получим

.

Поскольку угол α мал, , тогда ,

Вычислим: :

.

Пример 4. Точечные электрические заряды и находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние и от заряда на .

Дано: ; ; ; .

Найти: , – ?

Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе зарядами и определяется по следующим формулам:

(1), . (2)

Вектор направлен по силовой линии от заряда , так как заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как заряд отрицателен. Модуль вектора найдем по теореме косинусов: . (3)

Здесь – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами , и : . В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение вычислить отдельно: . Подставив выражения и в уравнение (3) и вынеся общий множитель за знак корня, получим . (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов: (5).

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом на расстоянии от него выражается формулой (6). В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

, или

Произведем вычисления:

При вычислении знак заряда опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при его графическом изображении (см. рис.):

Пример 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью . Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано: ;; .

Найти: –?

Решение: Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или . Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях и :

. (1)

Так как цилиндр длинный, и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: . Подставив выражение Е в уравнение (1), получим:

. (2)

Произведем вычисления, учитывая, что ; .

.

Пример 6. Заряд переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии от поверхности заряженного шара радиусом . Поверхностная плотность положительного заряда . Определить совершаемую при этом работу. Какая работа совершается на последних пути?

Дано: , ; , .

Найти:А – ?

Решение: Работа внешней силы по перемещению заряда из точки поля с потенциалом в другую точку с потенциалом равна абсолютной величине, но противоположна по знаку работе сил поля по перемещению заряда между этими точками поля, т.е. . Работа сил электрического поля определяется по формуле .

Тогда (1), где и – потенциалы в начальной и конечной точках соответственно.

Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом в точке на расстоянии от его поверхности, определяется по формуле

(2), где – заряд шара.

Потенциал в бесконечно удаленной точке (при ) будет равен нулю. Потенциал _, рассчитанный по формуле (2), подставим в (1) и после преобразований получим

(3).

Подставив численные значения в уравнение (3), получим

.

Работу на последних 10 см пути можно определить по формуле

, (4)

где – потенциал в точке на расстоянии (R+r₁+r₂) от центра шара. Подставив выражение и в уравнение (4), после преобразований получим . (5)

Первое слагаемое в этом уравнении численно равно . Подставим числовые значения и вычислим :

.

Пример 7. Шарик массой перемещается из точки А, потенциал которой в точку В, потенциал которой равен нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в точке В его скорость . Заряд шарика .

Дано: .

Найти:V₁ – ?

Решение: Шарик перемещается под действием электрической силы со стороны поля. При этом изменение кинетической энергии шарика равно работе электрической силы: . (1)

Поскольку и А =q (φ₁ – φ₂), уравнение (1) можно привести к виду , откуда

.

Пример 8. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой Е. Как изменится разность потенциалов U₁ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ?

Дано: .

Найти: – ?

Решение: До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: . После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз: . Электроемкость первого не изменилась, т.е. .

Так как источник тока не отключался, общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе

, (1)

где q – заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, , где

Таким образом, . Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем .

Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение: ; . Таким образом, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.

Пример 9. Конденсатор емкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью . Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано:

Найти: – ?

Решение: Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где – энергия, которой первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле (2), где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив и аналогично формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

(4)

Подставив выражение для U₂ в (3), найдем

, или

Произведем вычисления: .

Пример 10.Элемент с э.д.с. Е = 2,1В и внутренним сопротивлением соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах элемента U = 2В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения S = 0,75мм² ?

Дано:э.д.с. = Е = 2,1В; ; U = 2В; S = 0,75мм²=

Найти:l – ?

Решение: По закону Ома для замкнутой цепи сила тока

(1)

По закону Ома для участка цепи, состоящего из реостата, та же сила тока . (2). Решив совместно уравнение (1) и (2), получим:

; ;

;

Из формулы найдем длину железной проволоки: где – удельное сопротивление железа.

Пример 11. Определить сопротивление подводящих проводов источника с напряжением U = 120В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения и длиной плавятся за . Начальная температура предохранителя .

Дано:U = 120В; , ; ; .

Найти:R – ?

Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания свинца до точки плавления и последующего плавления свинца при этой температуре, Q₁ = ΔQ₁ + ΔQ₂. Так как ΔQ₁ = С m ΔT, ΔQ₂ = , , ΔT = Т_пл – Т,

, (1)

где D – плотность свинца; C – удельная теплоемкость свинца; Т_пл – температура плавления свинца.

При коротком замыкании сопротивление цепи равно R + R_пр,

где – сопротивление предохранителя.

Сила тока короткого замыкания .

По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся в предохранителе за время t, . После преобразований получим . (2)

Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идет на его плавление, получим Q₁ = Q₂, или с учетом выражений (1) и (2)

, откуда

Вариант 1.

1. Материальная точка массой m=0,5кг совершает движение согласно уравнениям: . Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент t=1с.

2. Небольшой груз совершает колебания по закону . Определите амплитуду, период, начальную фазу, а также максимальную скорость и ускорение груза.

3. Определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема составляет 0,25 дальности его полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Ствол пушки направлен под углом 45⁰ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в 50 раз меньше массы пушки, n₀=180м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса освободить.

5. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы вывести ракету за пределы поля тяготения Земли, если ракета стартует с космического корабля, движущегося по орбите на уровне 600 км над поверхностью Земли. Масса ракеты 20 т.

6. Два баллона соединены непроводящей тепло тонкой трубкой. Объемы баллонов V₁ =12^.10^{-2 м3} V₂ =8^.10^{-2 м3}. В баллонах находится идеальный газ в количестве =3 моля. Первый баллон поддерживается при температуре t₁=0 ⁰С. До какой температуры нужно нагреть второй баллон, чтобы в нем осталась одна треть общего количества газа? Каким будет давление в сосудах?

7. Кислород объемом 1л находится под давлением 1МПа. Определите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его в результате изохорного процесса.

8. Найти теплопроводность λ воздуха при условиях: давлении р = 100 кПа и температуре t = 10 ºС. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм.

9. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол a. Шарики погружаются в масло. Какова плотность масла r₀, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным? Плотность материала шариков r=1,5×10³ кг/м³, диэлектрическая проницаемость масла e=2,2.

10. Определить потенциал поля, создаваемого двумя зарядами q₁ = 5^.10^-6 Кл и q₂ = -4^.10^-6Кл, находящимися в вершинах А и В треугольника АВС, в его третьей вершине С. АВ = 30 см; ВС = 40 см; АС = 50 см (см. рис.).

11. Во сколько раз изменится емкость проводящего шара радиуса , помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью (керосин), если его поместить в среду, диэлектрическая проницаемость которой (глицерин).

12. Элемент с внутренним сопротивлением r=3 Ом и э.д.с. E=10 В замкнут проводником с сопротивлением R=6 Ом. Какое количество теплоты будет выделяться во внешней части цепи за 1 с?

Вариант 2.

1.Материальная точка массой m=0,5кг движется под действием постоянной силы F=10Н. В начальный момент скорость точки равна n₀=2м/с. Определить ускорение и скорость в момент t=5с.

2. Точка совершает колебания, описываемые уравнением . В некоторый момент сила, действующая на точку, и ее потенциальная энергия равны соответственно

F=5^.10^-3Н и Е_р=10^-4Дж. Чему равны фаза и кинетическая энергия точки в этот момент времени?

3. Колесо радиусом R=0,2м вращается с угловой скоростью (А=2рад/с²; В=12рад/с²). Определить полное число точек обода колеса через t=2с после начала вращения и число оборотов за это время.

4. В момент, когда скорость падающего тела n₀=4м/с, оно разорвалось на три одинаковых осколка. Два осколка разлетелись в горизонтальной плоскости под прямым углом друг другу со скоростью n=5м/с каждый. Найти скорость третьего осколка сразу после разрыва.

5. Определите, во сколько раз масса Марса меньше массы Земли, если известно, что сила притяжения на Земле больше силы притяжения на Марсе в 2,55раз. Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли.

6. Кислород массой m=1кг находится при температуре Т=320К. Определите: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считайте идеальным.

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха d=0,3нм.

8. При изотермическом расширении газа, занимавшего объем V= 2 м³, давление его меняется от р₁ = 0,5 МПа до

р₂ = 0,4 МПа. Найти работу А, совершенную газом.

9. Найти напряженность поля в центре квадрата, в вершинах которого последовательно расположены заряды 1, 2, 3 и 4 Кл? Сторона квадрата a=10 см.

10. Два маленьких шарика, радиусы которых и массы одинаковы, подвешены в воздухе на нитях равной длины в одной точке. После сообщения шарикам заряда по 400 нКл, нити разошлись на угол 60⁰. Расстояние от точки подвеса до центра шарика 0,2 м, найти массу шарика.

11. Конденсатор, состоящий из двух параллельных пластин, имеет емкость . Какой заряд находится на каждой из его обкладок, если разность потенциалов между ними ?

12. Воздух, находящийся в закрытом сосуде емкостью V=1л при нормальных условиях, нагревается электрическим нагревателем, рассчитанным на ток силой I=0,5A и напряжение U=12В. Через сколько времени t давление в сосуде повысится до Р=1,5 МПа? К.п.д. нагревателя η=50 %.

Вариант 3.

1. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила F, равномерно убывающая в течение t₀=10с. Какой путь она пройдет за это время, если начальная скорость равна нулю, а начальное ускорение .

2. Две пружины с жесткостью, соответственно равной k₁ и k₂ соединены один раз последовательно, второй раз параллельно. Во сколько раз будут отличаться периоды вертикальных колебаний груза на таких пружинах.

3. Колесо вращается равнозамедленно с угловым ускорением ε=0,21 рад/с². Частота вращения колеса в начальный момент времени была 300мин^-1. Сколько полных оборотов сделает колесо через 1мин. и чему равна частота вращения его в конце этого промежутка времени?

4.Снаряд, летевший с горизонтальной скоростью 500 м/с, разрывается на два осколка. Масса одного осколка в два раза больше другого. Осколок большей массы падает по вертикали, а меньший – под углом 30° к горизонту. Какова скорость второго осколка?

5.Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

6. Определите удельные теплоемкости С_V и С_Р смеси углекислого газа массой m₁=3г и азота массой m₂=4г.

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении р=10 кПа и температуре t=17 ⁰С

8. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:

а) коэффициентов диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей. Диаметры этих молекул газов считать одинаковыми.

9.Четыре одинаковых заряда q размещены в углах квадрата. Какой заряд противоположного знака надо поместить в центр квадрата, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

10. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого расположены горизонтально, заряжен до разности потенциалов, равной 500 В. Расстояние между обкладками конденсатора составляет 2см. Между обкладками находится в равновесии заряженная пылинка массой 2^.10^-7кг. Каков заряд пылинки?

11. Между клеммами А и В включены конденсаторы емкостями С₁=3 мкФ и С₂=2 мкФ. Вычислить емкость системы согласно рисунку.

12. К полюсам батареи из двух источников, каждый с э.д.с. 75 В и внутренним сопротивлением 4 Ом, подведены две параллельные медные шины сопротивлением 10 Ом каждая. К концам шин и к их серединам подключены две лампочки сопротивлением 20 Ом каждая. Чему равен ток в первой лампочке, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов (см. рис.)?

Вариант 4.

1. Вагонетка, вес которой с грузом составляет Р=8500Н, движется по горизонтальному пути под действием, испытывая сопротивление -0,01Р. Рабочий толкает вагонетку с силой F=170Н. Через сколько времени рабочий сообщит вагонетке скорость n=0,6м/с.

2. Точка совершает колебания по закону, . Определите за какие промежутки времени точка проходит отрезки пути, равные половине амплитуды колебаний. Чему равны средняя скорость и среднее ускорение точки за эти промежутки времени.

3. Диск радиусом R=10см вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси согласно закону (В=1рад/с²; С=1рад/с²). Определите для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения полное ускорение.

4. Телу массой m, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость n₀. Найти время и расстояние до остановки, если коэффициент трения f.

5. Спутник поднимают на высоту 6000км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие А₁ и на запуск А₂ спутника.

6. До какой температуры Т₁ при постоянном давлении р=10⁵ Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре Т₂=200 К?

7. Найти среднее число столкновений в единицу времени СО₂ при температуре t=100 ⁰С, если средняя длина свободного пробега молекул l=870 мкм.

8. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4∙10²² молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа λ = 14 мВт/(м∙К). Найти коэффициент диффузии D газа.

9. Два положительных точечных заряда q и 9q закреплены на расстоянии l=100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряда.

10. Точечный положительный заряд создает на расстоянии 10 см электрическое поле с напряженностью 1 В/м. Чему будет равна напряженность результирующего поля, если этот заряд внести в однородное электрическое поле с напряженностью 1 В/м, на расстоянии 10 см от заряда на линии, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям однородного поля?

11. Два конденсатора емкостью С₁=5мкФ и С₂=8мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с э.д.с. Е=80 В. Определить заряды q₁ и q₂ конденсаторов и разности потенциалов U₁ и U₂ между их обкладками.

12. Найти к.п.д. источника тока с внутренним сопротивлением r=0,5 Ом, если он работает на нагрузку с сопротивлением R=4 Ом.

Вариант 5.

1. Мяч бросили с начальной скоростью под углом к горизонту. Скорость мяча будет направлена под углом к горизонту дважды во время полета. Через какой промежуток времени это случится во второй раз?

2. Частица движется вдоль оси Х по закону , где a и b – положительные постоянные. В момент t=0с сила, действующая на частицу, равна F₀. Найти значение силы, когда частица опять окажется в точке х=0.

3. Во время разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону . Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент, когда он сделает 27 оборотов.

4. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 6 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положения? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 20 кг×м².Длина стержня 2 м, масса – 5 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

5. Определите работу, которую необходимо совершать, чтобы тело массой m=2000кг, находящееся на Земле, смогло превратить в спутник Солнце. Сопротивлением среды пренебречь.

6. Определить, во сколько раз изменится концентрация молекул газа, если изобарически уменьшить абсолютную температуру в а=7 раз, а затем количество газа уменьшить в b=14 раз при том же давлении.

7. Молекула кислорода, ударившись о стенку сосуда, передала ей импульс ∆р=5,06 ^.10^{-23 кг .} м / с. Найти температуру газа в сосуде, если скорость данной молекулы была направлена под углом a=30⁰ к стенке и равнялась по величине удвоенной среднеквадратичной скорости.

8. В закрытом сосуде находится масса m₁ = 20 г азота и масса m₂ = 32 г кислорода. Найти приращение ΔU внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ΔT = 28 К.

9. Точечные заряды q₁=20 мкКл, q₂=10 мкКл находятся на расстоянии d=3 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на r₁=3 см от первого и r₂=4 см от второго заряда. Определить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд q=1 мкКл.

10. Два заряда, находясь в воздухе на расстоянии 5см, действуют друг на друга с силой , а в некоторой непроводящей жидкости на расстоянии , с силой . Какова относительная диэлектрическая проницаемость жидкости?

11. В каких пределах может меняться емкость С системы, состоящей их двух конденсаторов, если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна С₁= 3,33 пФ, а емкость С₂ другого изменяется от 22,2 до 555,5 пФ?

12. В цепь включены два проводника R₁= 5 Ом, R₂ =10 Ом, как показано на рисунке. Вольтметр V₁ показывает напряжение 12 В. Определить показание вольтметра V₂. Сопротивлением амперметра пренебречь. Сопротивление R_V2 >> R₂.

Вариант 6.

1. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила F=250Н под углом 32⁰ к горизонту. Определить работу, которую совершает данная сила на пути 200м. Какую работу совершает сила тяжести?

2. Математический маятник длиной l и массой m, отклонили на угол j₀ от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения маятника в зависимости от угла j нити с вертикалью.

3. Колесо радиусом R=1м вращается равномерно вокруг своей оси, делая один оборот за 0,25с. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса.

4. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = А+Вt+Сt², где А = 3 рад, В = 28 рад / с,

С = – 5 рад / с². Найти среднюю мощность <N>,развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг×м².

5. Частица движется со скоростью v=0,8с (с – скорость света в вакууме). Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

6. Цилиндрический сосуд длиной l=85 см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях цилиндра будет одинаково, если одна часть заполнена кислородом, а другая водородом такой же массы? Температура в обеих частях цилиндра одинакова.

7. Определить, во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки массой m=1,75^.10^{-12 кг, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости движения молекул азота?}

8. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотермически расширяется от объема V₁ = 1 л до V₂ = 2 л. Найти работу А, совершенную газом при расширении, и количество теплоты Q, сообщенное газу.

9. В вершинах треугольника со сторонами по 2×10^-2 м находятся равные заряды по 2×10^-9 Кл. Найти равнодействующую сил, действующих на четвертый заряд 1×10^-9 Кл, помещенный на середине стороны треугольника. Как изменится равнодействующая, если заряд поместить на середине другой стороны треугольника? Пояснить рисунком.

10. Два равных точечных заряда по 10^-8 Кл каждый находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Вычислить напряженность Е и потенциал φ в точке поля, находящейся на середине расстояния между зарядами. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния 0,5 м?

11. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость такой батареи конденсаторов 90 пФ. Площадь пластины конденсатора S=100 см². Диэлектрик – стекло (ε=7). Какова толщина стекла?

12. Какого диаметра нужно выбрать медный провод, чтобы при допустимой плотности тока в 1 А/мм² сила тока в нем была 314 А?

Вариант 7.

1. Найти мощность машины, поднимающей молот массой 900кг 100 раз в минуту, на высоту h=0,6м, если коэффициент полезного действия η=0,8

2. Материальная точка массой m=400г совершает гармонические колебания по горизонтальной оси О_х по закону (х выражено в см., t – в с.). Найти силу, действующую на точку в крайних точках, амплитуду, период и кинетическую энергию в положении равновесия.

3. Вал начинает вращаться с угловой скоростью

w₀=2p рад/с равноускоренно и за 10с делает 10 оборотов. Найти ускорение точки, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии, равном 0,5м, в тот момент, когда скорость этой точки равна 2p м/с.

4.Начальная скорость снаряда n₀=490м/с. Под каким углом a к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами х=700м; у=680м.

5.Определите, на сколько процентов отличается полная энергия релятивистской частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью v=0,75с (с – скорость света в вакууме), от ее энергии покоя.

6. В сосуде объемом V₁ находится одноатомный газ при давлении р₁ и температуре Т₁, а в сосуде объемом V₂ такой же газ при давлении р₂ и температуре Т_2. Какое давление и температура установятся в сосудах при их соединении? Теплообменом с окружающей средой и стенками сосудов пренебречь.

7. Определить температуру газа, при которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на ∆v=400 м/с. Найти среднюю арифметическую скорость молекул водорода при этой температуре.

8. Воздух массой m=1 кг находится под поршнем в цилиндре. Давление воздуха р= 8^.10⁵ Па, а температура t=158 ⁰С. При изотермическом расширении его давление уменьшилось вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и его конечный объем.

9. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в эфир. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в эфире был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость эфира e=4,3.

10. На расстоянии 50 см от поверхности шара радиусом 8 см, заряженного до потенциала 20 кВ, находится точечный заряд 1,5·10^-8 Кл. Какую работу надо совершить для уменьшения расстояния между шаром и зарядом до 20 см?

11. Два металлических шарика радиусами R₁=5 см и R₂=10 см имеют заряды q₁=40нКл и q₂=-20нКл соответственно. Найти энергию W, которая выделится при разряде, если шары соединить проводником.

12. Электрический чайник, содержащий объем V = 600 см³ воды при t₀ = 9 ⁰С, забыли выключить. Сопротивление нагревателя чайника R = 16 Ом. Через какое время τ после включения вода в чайнике выкипит? Напряжение в сети U = 120 В, КПД нагревателя η= 60%.

Вариант 8.

1. Брусок массой m=0,5кг тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k=0,1. Найти угол a, при котором натяжение нити минимально. Чему оно равно?

2. Материальная точка массой m=2кг описывает криволинейную траекторию по закону . Найти силу, действующую на тело в момент времени, когда скорость тела n=3м/с. Радиус кривизны траектории R=6м

3. Вал вращается в подшипниках вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону , где j – угол поворота вала в радианах. Определить скорость и ускорение точки М вала, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии r=0,8м в тот момент, когда угловая скорость вала достигает наибольшего максимального значения.

4. Человек массой 70кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 1000кг, вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью 0,2рад/с, переходит к ее центру. Считая платформу однородным диском, а человека – материальной точкой, определите, с какой частотой будет вращаться платформа после этого перехода.

5. Определить скорость частицы, у которой релятивистский импульс превышает ее ньютоновский импульс в 2 раза.

6. В со