Геометрия и геодезия в античный период, их разделение

Первоначально измерением земли занималась геометрия. Но постепенно геометрия выделилась в теоретическую математическую науку, оставив прежнее название. Аристотель (1\/в. до н.э.) считал, что предмет математики определяется не каким-либо определенным классом чувственно воспринимаемых объектов, а свойствами, присущими любым объектам. Однако, вероятнее всего разделение единого геометрического знания на геометрию и геодезию произошло раньше, в \/в. до н.э.

До греческих математиков геометрия и геодезия, т.е. землемерное искусство, по совокупности теоретических и практических знаний представляли собой единое целое. Создатели греческой геометрии отделили предмет измерения на местности от предмета теоретического исследования, превратив всю науку в геометрию «циркуля и линейки». Этот факт в научном плане несомненно сыграл положительную роль, т.к. по мнению историка Цейтена Г.Г.( в работе «История математики в древности и в средние века», 1938г.) « Уже в древности греки сумели … создать геометрию, изучающую свойства пространства, столь полно и точно, что она смогла сохранить свое значение как наука перед строгими требованиями современного знания». Но это разделение оказало положительное влияние также и на геодезию.

Потребность в разделении этих наук возникла не только благодаря выдающимся достижениям греческих мыслителей математиков в области геометрии, но и возросшей значимости задач геодезии. При этом сформировалась вполне определенная категория (круг) задач, получивших в то время повсеместно широкое распространение. Значительные объемы работ в области прикладного геометрического знания уже не укладывались в привычные рамки египетского «землемерия», как и сама геометрия. Специализация, широкое распространение геодезических задач выделили геодезическое знание в особую систему, которая получила и свое название. Это подтверждают исторические данные времен Римской империи. Что касается древнегреческого периода, от которого не сохранилось каких-либо исторических фактов, касающихся геодезии, за исключением труда «Диоптра» Герона (1в. н.э.), то эта работа и уровень социально-экономической жизни, и интенсивное строительство сложных инженерных сооружений также подтверждают причину выделения и оформления прикладного геометрического знания - геодезии.

Таким образом, с одной стороны, непрерывно расширявшаяся практика решения различного рода геометрических задач на местности, а с другой стороны, быстро увеличивавшиеся по объему абстрактные знания специализированной теоретической геометрии привели в конце концов к дифференциации и разделению геометрии, т.е. соответствующего этому названию знания, на две части: теоретическую и практическую – геометрию и практическую геометрию или геодезию.

Практическая часть, ввиду ее профессиональной, социальной и юридической значимости, получила новое название, подчеркнув тем самым более широкие претензии на особую значимость (в т.ч. государственную), чем претензии «новой геометрии», составлявшей сферу духовной деятельности гораздо меньшего круга людей, хотя и более знаменитых и выдающихся.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что разделение геометрии и геодезии явилось фактом: 1) отделения теории от практики по предмету и методу науки; 2) возрастания значимости и землеразделительных задач, и задач теоретической геометрии.

Древние греки многим наукам дали названия, в которых заложен их основной смысл и назначение, в том числе и геодезии.

Человек постигает все разнообразие окружающего мира в его разделенности, отграниченности в нем каждого объекта от всех других. Граница эта устанавливается всеми органами чувств, главным образом через зрение. Границы или линии разделения являются определяющими элементами в человеческой деятельности, а соответствующие им пространственные отношения и формы составляют предметную сущность науки. В земледелии это границы участков, наделов, а также дороги, каналы, любые линейные контуры. В строительстве – это основные линии, оси сооружения и т.п.

Все границы являются одновременно и линиями деления чего-то, в земледелии – землеразделения. Определение в пространстве этих линий деления и составляет то, что сейчас интерпретируется как пространственные отношения и форма. Задачи этого рода составляли предмет измерений в геометрии, т.е. в землемерии. Отделение измерительного знания от геометрии привело к необходимости формирования нового наименования, которому лучше всего отвечало понятие «землеразделение», т.е. геодезия.

Все, что было связано с проведением новых границ или восстановлением прежних, относилось к разряду землеразделительных задач.

Ввиду предметной общности геометрии и геодезии теоретические проблемы геодезии геометрического (математического) характера остались в геометрии и решались мыслителями, математиками и астрономами. Например, Фалес решил задачи: определение высоты предмета по его тени; употребление окружности для измерения углов; определение расстояния от берега до корабля; Аристотель дал доказательство шарообразности Земли и т.д. Он дал определение геометрии и геодезии как наук, уже существовавших тогда, предметом которых соответственно являются объекты не воспринимаемые чувством и предметы чувственного восприятия.

Важность геодезических знаний и соответствующих профессий вытекали из их основного предмета работ – границ. Но граница - это линия разделения, что приводит к той же функции – землеразделению.

Государственная и общественная важность этой «землеразделительной» профессии, ее основная направленность, главный смысл и назначение почти не изменились до 16 – 18 веков.

Можно подвести итог, что основной функцией геодезии, имевшей наибольшее и повсеместное распространение, соответствовавшей ее названию, была землеразделительная. Но понятию «гео» - земля в термине геодезия соответствовало три возможных варианта ответа: 1) земля, как пространство обитания данного народа, существования государства или нескольких государств, а в предельном случае – ойкумена, изображавшаяся на картах древними учеными от Канарских островов до Китая; 2)земля – как средство производства – в соответствии с основным способом производства; 3) земля, как поверхность заселения, жизни и работы людей.

Вторая часть слова – «дезия» - показывает, что земля в трех рассмотренных вариантах интерпретации подлежала делению соответственно: 1) географическому «делению» народов границами; 2) в земледелии – деление общих площадей на отдельные участки; 3) «деление» земли в смысле планировки, застройки и т.п. Наибольшее значение и значимость имел второй вариант - землеразделение. Представление и перевод понятия «гео» в планетарном масштабе (Земля как планета), даже у великих и передовых мыслителей и математиков и философов, могло быть как исключение.

3.3. Геодезия Герона Александрийского

О блестящем развитии геометрии можно судить по труду Евклида «Начала», в котором геометрия стала венцом работ всех выдающихся математиков той эпохи. О впечатляющих знаниях по геодезии в то далекое время свидетельствуют сочинения выдающегося математика, геодезиста и механика Герона Александрийского, жившего в 1в.н.э., «Диоптра» и «Метрика». По сути, это был учебник по геодезии, состоящий из многих разделов со своими названиями, но весь труд представлял единое целое и, возможно, имел общее название. Учебник имел целью заменить староегипетские правила измерений и подсчета геометрических характеристик различных фигур. Он был написан для практиков, поэтому содержал точные и приближенные формулы для подсчета площадей различных геометрических фигур. В учебнике описаны инструменты, сформулированы задачи, рекомендованы методы геометрических построений. В «Метрике» большинство формул даны без доказательств, в конечном виде.

Западные историки пишут, что работы Герона находили обширный круг читателей в более позднее время в Европе, у арабов и даже в Индии. Геодезия Герона и его «Метрика» оказали воздействие на последующие эпохи вплоть до 19в.

Геодезический измерительный инструмент ДИОПТРА являлся инструментом, в котором были заложены основы будущих геодезических приборов как в целом, так и в отдельных их компонентах. С помощью диоптры можно было измерять горизонтальные и вертикальные углы. Но еще более удивительным является то, что этот инструмент был многофункциональным. Его можно было использовать не только для измерения углов, вешения линий, построения на местности углов и линий, но и для нивелирования (для измерения превышений между точками местности). При этом устройства для измерения углов и для нивелирования были взаимозаменяемыми. К нивелиру придавались рейки, напоминающие по внешнему виду современные. Но широкого практического применения этот прибор не получил, так как в то время не было необходимости измерять углы. Угловые измерения стали выполнять только во втором тысячелетии н.э. сначала астрономы, затем геодезисты. Все устройство в целом и в отдельных частях (например, микрометренный винт) стало чудом инженерного искусства. Создававшиеся много позже, в 16- 19в.в., инструменты довольно существенно походили своими диоптрами и горизонтальным кругом на диоптру Герона.

Кроме того, диоптра являлась прототипом универсального угломерного инструмента, поскольку могла использоваться и в геодезии, и в астрономии. Таким образом, диоптра Герона опередила по соответствующим аналогам и идеям свое время почти на полторы тысячи лет, оказала влияние своими техническими возможностями на геодезическое приборостроение последующих веков. В целом сочинения и инструменты Герона оказали огромное влияние на теорию землемерия в последующие 15 столетий.

Вместе со сложными устройствами и методами, обеспечивавшими высокую точность измерений, Героном применялись менее сложные. Одним из них был ГОДОМЕТР (или одометр) для измерения расстояний с помощью колеса, обеспечивающий точность 1:300. Сам Герон относительно этого устройства писал: «При помощи годометра мы можем измерить пройденное на земле расстояние без утомительного применения землемерной цепи и шеста. Напротив, сидя с удобством в экипаже мы просто по вращению колеса измеряем оставляемое позади пространство». Изобретен этот способ был значительно раньше Герона, описание годометра (мерного колеса) есть также у Витрувия (1в. до н.э).

С позиций предмета «Практической геометрии» Герон изложил следующие 17 геодезических задач:

1.Измерить разность высот двух точек, невидимых одна от другой.

2. Провести прямую между двумя точками, невидимыми одна от другой.

3. Найти расстояние места, где находишься, от другой недоступной точки.

4. Измерить ширину реки, которую нельзя переплыть.

5. Измерить расстояние между двумя отдаленными точками.

6. Провести из одной точки перпендикуляр на прямую, к которой нельзя приблизиться.

7. Измерить высоту недоступно точки.

8. Измерить разность высот двух недоступных точек.

9. Измерить глубину ямы.

10. Сквозь гору провести прямую, соединяющую две точки, данные с различных сторон горы.

11. Выкопать в горе колодец, чтобы он оканчивался в данном подземном углублении.

12. Начертить контур реки.
13. Измерить поле не входя в него.

14. Разделить поле на данное число частей посредством прямых, выходящих из одной точки.

15. Разделить треугольник и трапецию в данном отношении.

16. Придать насыпи форму данного сферического сегмента.

17. Сообщить насыпи определенный наклон.

Эти задачи являются реализацией ряда теорем «Начала» Евклида – простейших теорем планиметрии, стереометрии, пропорций и др. Зная решение этих задач можно было путем геометрических построений на местности с помощью диоптры, мерной цепи, мерной веревки или шеста решить любую конкретную задачу, с какой могли встретиться в своей деятельности греки, а потом и римляне, в земледелии, строительстве, военном деле и даже в случае проверки и реализации научных идей.

В приведенный список вошли задачи, которые сформулировал еще Фалес за 600 лет до Герона, например, определение высоты пирамиды и расстояния до корабля. Заслуга Герона в том, что задачи сформулированы им в более обобщенном, геометрическом виде и являются образцом применения теории к практике в самом обобщенном, а потому и в самом эффективном виде. Но эти задачи стали применяться повсеместно значительно позднее, в эпоху Возрождения.

В другой работе Герона «Метрика» приведено много геометрических фактов как с доказательством так и без доказательства, приведены формулы точные и приближенные. Украшением трудов Герона является известная нам формула для подсчета площади треугольника по измеренным сторонам:

S² = p(p – a) (p – b) (p – c), где a,b,c – стороны треугольника; p = (a+b+c)/2 – полупериметр треугольника. Эту формулу заставила изобрести жизнь, так как площадь треугольника можно было определить измерив три стороны его, без других дополнительных измерений на местности. Ведь в то время углы еще не умели измерять. Единственная сложность в подсчете площади по этой формуле – извлечение корня, но Герон дал соответствующие примеры.

Эта формула встречается также у арабов, в Индии и у других народов. Причем, индусы возможно вывели эту формулу независимо, хотя и позже Герона.

В Римской империи все построения на местности сводились к прямым линиям и прямым углам, поэтому все их задачи решались с помощью инструментов – громы (устройства позволяющего строить на местности прямой угол), мерной веревки или шеста, ватерпаса и одометра. Но работы Герона римляне использовали. Отдельные выдающиеся геодезисты Рима, например, Фронтини (40 -103), хорошо знали труды Герона и применяли его задачи, построения и формулы в особо трудных случаях, таких как разделение участков, прокладка туннелей, сооружение виадуков и некоторых других. Римляне для вычисления площади треугольника не использовали формулу Герона, а применяли приближенную, грубо ошибочную: S= (a+b)c/2, где с – основание треугольника, a и b – боковые стороны. Одна из возможных причин не применения точной формулы – необходимость построения на местности и измерения высоты треугольника. Для определения площадей правильных многоугольников применяли формулу: S= (n – 2)a² – (n – 4)a, где а – сторона правильного многоугольника; n – число сторон. (Вильгельм Вольф: «Лекции по истории практической геометрии - геодезии», читанные в 1863 – 1864г.г. на съездах общества немецких геометров, изд. в 1865г.).

Задачи и формулы Герона в последующие периоды использовали многие народы Европы и Азии. Так во втором тысячелетии н.э. в учебниках по геометрии дается решение такого рода задач. В России в 1760г был издан учебник Степана Назарова «Теоретическая и практическая геометрия» в двух томах (переиздавался в 1772 и 1775 г.г.), в котором дано решение задач Герона разными способами: 1) с помощью мерной веревки; 2) с использованием угломерных инструментов – астролябии и квадранта; 3) с помощью мензулы. При этом формулировка задач дается почти по Герону, но применительно к решению в военных условиях (установка пушек, измерение расстояний до целей) и к решению межевых задач.

Итак, можно сделать вывод этой эпохи. С одной стороны, высокоточный измерительный инструмент (шедевр механического искусства той эпохи), точные формулы, комплекс универсальных геометрических задач на построения на местности, давший решение любых геодезических задач – все это характеризует высочайший уровень геодезии в эпоху эллинизма. Книги «Диоптра» и «Метрика», вобравшие в себя достижения предшествующих веков, можно по праву считать кульминацией механики, измерительной техники и практической геометрии в приложении к хозяйственным и техническим задачам того времени. С другой стороны, работы Герона не нашли широкого применения у его непосредственных преемников – землемеров древнего Рима и Средневековья, хотя те тщательно изучали и переписывали его работы. Западно-европейские ученые во второй половине 19в. высоко ценили вклад Герона в науку и ставили его на один уровень с Евклидом, Архимедом и Аполлонием. Книги Герона на протяжении более тысячи лет служили для практических геометров совершенным пособием не только в геодезии, но и в геометрии, открывая наиболее доступные пути для ее понимания.

Формулируя задачи, Герон показал путь воспитания геометрического мышления как у практика геометра – геодезиста, так и у математика.

Герон был не только искусный геодезист, но и выдающийся механик, первым построил фонтан, паровой шар, автомат для продажи святой воды, создал театр автоматов и много другого.

- * -

Тема № 4. Древние мерные устройства и инструменты