Тема. Рівняння та нерівності, їх розв'язування. Лінійні та квадратні рівняння, нерівності. Рівняння, що зводяться до квадратних

План

1. Рівняння, їхрозв'язування.
2. Нерівності, їхрозв'язування.
3. Лінійні рівняння.
4. Лінійні нерівності.
5. Квадратні рівняння.
6. Рівняння, що зводяться до квадратних.
7. Квадратні нерівності.

1. Рівняння, їхрозв'язування
Означення	Приклади
Рівняння – це рівність, яка містить змінну.   Розв’язок рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну рівність.	3(х – 4) = 24, (х – 4) = 24 : 3, х – 4 = 8, х = 8 + 4, х =12 – розв’язок рівняння
Розв’язати рівняння – це означає знайти його розв’язки або довести, що їх немає.	3(х – 4) = 24, х =12
Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті самі розв’язки.	3х = 36 і 3(х – 4) = 24; їх розв’язок х =12
Деякі властивості рівнянь
У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки. Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і при цьому змінити знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному.	3х – 4 +5х = 36 3х + 5х = 36 + 4 8х = 40
При діленні (множенні) обох частин рівняння на одне і те саме число, відмінне від нуля, отримаємо рівняння, рівносильне даному.	Поділимо обидві частини рівняння 8х = 40 на 8: х = 5 – це рівняння рівносильне 8х = 40, їх розв’язок 5.
2. Нерівності, їхрозв'язування
Якщо а менше b або а більше b, то записують так: а < b або а > b. Такий вираз називається нерівністю.	7 < 10; 8 > 7
Знаки < , > називаються знаками строгих нерівностей.	а < b ; а > b
Знаки , називаються знаками нестрогих нерівностей.	а b; а b
3. Лінійні рівняння
Рівняння виду ax = b, де х - змінна, а і b- деякі числа, називається лінійним рівнянням.	4- 5х = 6 – 2(х + 2), -3х = -2 х =
Розв’язування лінійних рівнянь
ax + b = 0; ax = - b	5х + 4 = 0, 5х = -4
a 0; х = - - єдиний розв’язок	х = - - розв’язок
а = 0, 0х = - b – немає розв’язків	0х = -10 немає розв’язків – 10 на 0 поділити неможливо
а = 0, b = 0. 0 х = 0 – нескінчена множина розв’язків	7х = 7х, 7х - 7х = 0, 0х = 0 х – будь-яке число
Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними
Лінійним рівнянням з двома змінними х и у називається рівняння виду: ах + bу + с = 0, де х и у - змінні, а, b, с – деякі числа.	3х + 4у + 5 = 0 – лінійне рівняння
Розв’язком рівняння з двома змінними називається будь-яка пара чисел (х; у), яка перетворює рівняння на тотожність. Розв’язати рівняння з двома змінними – означає знайти всі пари чисел (х; у), які є його розв’язком.	х + 2у = 5 – лінійне рівняння Пара (1; 2) – розв’язок рівняння
4. Лінійні нерівності
Лінійною називається нерівність виду ах > b (або, відповідно, ах < b, ах b, ах b ), де - числа.
Розв’язками нерівності з однією змінною називається множина таких значень змінної, яка перетворює її на правильну числову нерівність.
Властивості	Приклади
Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то утвориться нерівність, рівносильна даній	4(у - 1) + 7 1 – 3(у + 2), 4у – 4 + 7 1 – 3у – 6, 4у + 3у 1 – 6 – 7.
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то утвориться нерівність, рівносильна даній	7у -8, у -
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримуємо рівносильну даній нерівність.	- 3х + 8 < 2х – 2, - 5х < -10, х > 2
5. Квадратні рівняння
Рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де х - змінна, а, b, с – деякі числа, причому а 0, називають квадратним рівнянням. а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член
Якщо в цьому рівнянні хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1) ах2 = 0; 2) ах2 + bх = 0; 3) ах2 + с = 0
ах2 = 0 при b = 0, с = 0 х2 = 0 х = 0 рівняння має тільки один розв’язок	5х2 = 0 х2 = 0 х = 0
ах2 + bх = 0 при с = 0 х(ах + b) = 0 х1 = 0 або х2 = рівняння завжди має два розв’язки	4х2 + 3х = 0 х(4х + 3) = 0 х1 = 0 або х2 =
ах2 + с = 0 при b = 0 ах2 = - с х2 = - оскільки с 0, то - 0, тоді: 1) якщо - > 0, то рівняння має два розв’язки х1 = - ; х2 = ; 2) якщо - < 0, то рівняння не має розв’язків	9х2 - 4 = 0 9х2 = 4 х2 = х1 = - ; х2 = ; 16х2 + 9 = 0 16х2 = - 9 х2 = - немає розв’язків
Якщо а =1, то квадратне рівняння називають зведеним	х2 -bх + 30 = 0
Повні квадратні рівняння ах2 + bх + с = 0 розв’язуємо за формулою х1,2 = , де D = називають дискримінантом даного квадратного рівняння
Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних розв’язків	2х2 + 5х + 6 = 0 D = 25 – 48 = - 23 D < 0, отже, рівняння не має дійсних розв’язків
Якщо D = 0, то рівняння має два однакові розв’язки: х1 = х2 =	4х2 + 4х + 1 = 0 D = 16 – 16 = 0 D = 0, отже, рівняння має два однакові розв’язки: х1 = х2 =
Якщо D > 0, то рівняння має два різні розв’язки: х1 = , х2 = ,	2х2 + 3х + 1 = 0 D = 9 – 8 = 1, D > 0, отже, рівняння має два різні розв’язки: х1 = , х2 = .
Теорема Вієта
ах2 + bх + с = 0, , Якщо а = 1, то ,
6. Рівняння, що зводяться до квадратних
Рівняння виду ах4 + bх2 + с = 0, де а 0, b 0 називається біквадратним рівнянням	2х4 + 3х2 + 4 = 0
Формула розкладу квадратного тричлена на множники: ах2 + bх + с =а( )( )	2х2 - х - 3 =2( )( ); 2х2 - х - 3 =0, х1 = 1,5; х2 = - 1 2х2 - х - 3 =2( )( ).
7. Квадратні нерівності
Нерівність виду ах2 + bх + с < 0(ах2 + bх + с>0), де х - змінна, а, b, с – деякі числа, причому а 0, називають квадратною.	3х2 + 4х - 5 < 0 - 5х2 - 6х+7 > 0
Для розв’язування квадратичних нерівностей використовують ескіз графіка функції у = ах2 + bх + с, тобто параболу	х	3х2 - 7х - 10 0 у = 3х2 - 7х – 10 – графік - парабола, вітки напрямлені вгору, вісь Ох перетинає в точках