Поняття про класичні та узагальнені розв’язки крайових задач

Розглянуті крайові задачі характеризуються тим, що їх розв’язки повинні бути достатньо гладкими і задовольняти рівняння в кожній точці області завдання цього рівняння. Такі розв’язки прийнято називати класичними, а постановку відповідної крайової задачі – класичною постановкою. Класичні постановки накладають досить жорсткі вимоги стосовно гладкості даних та розв’язків, наприклад, для розглянутих крайових задач, класичний розв’язок повинен бути двічі неперервно диференційованих в області задання. Однак, на практиці для цілого ряду важливих випадків вхідні дані можуть мати особливості або як прийнято казати бути сингулярними. Тому в таких випадках класичних постановок задач може бути недостатньо. Для того, щоб здійснити постановки таких задач доводиться відмовлятися (частково або повністю) від вимог гладкості розв’язку в області. Дана проблема вирішується шляхом введення поняття так званих узагальнених розв’язків, які базуються на понятті узагальнених функцій.

Узагальнена функція є узагальненням класичного поняття функції. Це узагальнення, з однієї сторони, дає можливість виразити в математичній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, густина заряду, інтенсивність миттєвого точкового джерела і т.д. З іншого боку, в понятті узагальненої функції знаходить відображення той факт, що реально неможливо, наприклад, виміряти густину речовини в точці, а можна виміряти лише середню густину в достатньо малому околі цієї точки. Грубо узагальнюючи, можна сказати, що узагальнена функція визначається своїми “середніми значеннями” в околі точки.

Математично строго узагальнена функція визначається як довільний лінійний неперервний функціонал на деякому просторі основних функцій, тобто узагальнена функція ставить у відповідність деякій “класичній” функції, в загальному випадку, комплексне число. Прикладом узагальненої функції може бути добре відома - функція Дірака.

Наведемо приклад постановки крайової задачі, що описує теплові процеси. Отже, визначити диференціальне рівняння для обчислення температурного поля та поставити початкову і крайові умови для поданої нижче задачі (див. рис. 4.1). Задано двовимірну область W (АВСД), температуру на границях АВ, АД та ДС (границя ВС є теплоізольованою), джерело тепла розміщене в центрі області і підтримується при постійній температурі 100 °С, в усіх внутрішніх точках області та на границі ВС в початковий момент часу температура рівна нулю ( ), крок рівномірний, ( , ).

Рис.4.1. Приклад області моделюванн крайової задачі

Розв’язання задачі. Область моделювання наведено на рис.4.1. Це є двовимірна область у формі прямокутника ABCD, що залежить від двох просторових координат, а саме: і . Розподіл температури в області описується диференціальним рівнянням теплопровідності (Фур’є):

, (4.29)

де - температура; - час; і - просторові координати, а a - коефіцієнт температуропровідності.

Для завершення математичної формалізаціїт задачі до рівняння (4.29) необхідно додати початкову та крайові умови.

Початкова умова має наступну форму:

, (4.30)

а краєві умови:

°C, де ; (4.31)

°C, де ;

°C, де ;

°C.

при , .

Сформульована крайова задача (4.29 – 4.31) дає змогу провести аналіз перехідного процесу. При нехтуванні перехідним процесом можна скористатися стаціонарним рівнянням наступного виду з крайовими умовами (4.31).

4.8. Контрольні запитання

1. Які ДРЧП використовуються на компонентному рівні проектування?

2. Як визначається порядок ДРЧП?

3. Яке ДРЧП називається нелінійним?

4. Яке ДРЧП називається однорідним?

5. Які ДРЧП відносяться до рівнянь еліптичного типу?

6. Яке ДРЧП називається нестаціонарними?

7. Які види крайових умов Ви знаєте?

8. Що таке крайова умава?

9. Що таке початкова умава?

10. Яка крайова задача називається коректно поставленою?

11. Які методи розв’язання ДРЧП Ви знаєте?

12. Які постановки крайових задач Ви знаєте?

13. Які ДРЧП відносяться до рівнянь параболічного типу?

14. Які ДРЧП відносяться до рівнянь гіперболічного типу?

15. Який порядок ДРЧП (4.29)?

16. Диференціальне рівняння (4.29) стаціонарне чи нестаціонарне?