Основні рівняння для моделей на компонентному рівні

Математичні моделі на компонентному рівні проектування для багатьох фізичних процесів описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними (ДРЧП). Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними [5] складають лінійні рівняння другого порядку з незалежними змінними, які в загальному випадку можна записати наступним чином:

. (4.1)

Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (4.1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.

Рівняння коливань має вигляд:

, (4.2)

де невідома функція залежить від просторових координат і часу , коефіцієнти визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коливальний процес, функція виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (4.2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (4.2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:

, (4.3)

яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в однорідному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (4.3) описує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному – такі фізичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні коливання пружного стрижня. Ввівши оператор Лапласа

тоді хвильове рівняння (4.3) можна записати так

. (4.4)