Передаточная функция. В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений

В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dt так, что dy/dt = py, а p_n = d_n/dt_n. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

a_op⁽ⁿ⁾y + a₁p^(n-1)y + ... + a_ny = (a_op⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) + ... + a_n) y = (b_op^(m) + b₁p^(m-1) + ... + b_m) u

Некоторые правила операционного исчисления математики применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так, оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть

py ≠ yp.

Его можно выносить за скобки и т.п. Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/u(t), поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления. В установившемся режиме d/dt = 0, то есть p = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена

K = b_m/a_n.

Знаменатель передаточной функции

D(p) = (a_op⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) + ... + a_n)

называют характеристическим уравнением. Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.

Числитель

K(p) = b_op^m + b₁p^{m - 1}+ ... + b^m

называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме.

Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин.

Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция W_и(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной.