Временные и частотные характеристики

Динамические свойства линейных звеньев и САУ в целом могут быть представлены помимо уравнений временными и частотными характеристиками.

Эти характеристики могут быть сняты 1) экспериментально или построены 2) по уравнению звена.

Временные и частотные характеристики однозначно связаны с уравнениями звеньев (и систем) и наряду с ними являются исчерпывающим описанием динамических свойств звеньев (и САУ в целом).

Переходная и весовая функции

Временные характеристики – это реакция звена на типовой сигнал. В ТАУ используют две временные характеристики:

1) переходная функция (характеристика)

2) весовая функция (характеристика)

Переходная характеристикаh(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход единичного скачкообразного воздействия (единичная ступенчатая функция).

Ступенчатая функция представляет собой распространенный сигнал в автоматических системах:

- мгновенное изменение нагрузки (М_с);

- мгновенное изменение напряжения сети (U_с);

- мгновенное изменение входного воздействия (особенно при логическом управлении).

Ступенчатую функцию (сигнал) легко реализовать при экспериментальных исследованиях (тумблер, резкий поворот потенциометра и т.п.).

Переходную характеристику h(t) можно получить аналитически – это решение дифференциального уравнения системы (звена) при х = 1(t) → обычно для анализа показателей.

Функция веса w(t) – реакция звена на единичный импульс → дельта-функцию Дирака.

.

Дельта-функция – математическая идеализация предельно короткого импульса с единичной площадью .

На практике δ(t) это:

- "удар" (на валу, в насосе лопасть корабля);

- ток "к.з." в электромеханических системах (нарастание и мгновенное отключение с помощью предохранителя)

- "взрыв".

Вследствие принципа суперпозиции имеем:

и .

Общий вывод: 1) В отличие от математики в инженерной практике значительно чаще в качестве временной характеристики используют переходную функцию, т.к. она реализуема в отличие от δ(t), который реализуется только приближенно.

2) Более того, зная h(t) можно определить и .

3) В ТАУ h(t) используется для оценки качества системы.

Следует заметить, что весовая и переходная характеристики связаны с передаточной функцией следующими преобразованиями:

- преобразование Лапласа (вход δ(t) → 1),

- преобразование Карсона (вход = 1 (t) → 1).

Отсюда следует, что преобразование Карсона больше подходит для инженера.

Примечание: По большому счету (в общем) ПФ – это отношение изображений выходного сигнала ко входному. Но по Карсону 1 (t) → 1, а по Лапласу δ(t) = 1.

Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена при подаче на его вход гармонического воздействия

Здесь X, Y – амплитуды входного и выходного сигнала; ω – круговая частота (ω = 2πf); φ – фазовый сдвиг (угол).

В установившемся режиме (т.е. после окончания переходного процесса) на выходе будут существовать гармонические колебания с частотой ω, но отличающиеся амплитудой и фазой. Чем выше частоты обычно за счет инерционных свойств звена (системы) амплитуда уменьшается, а фаза увеличивается (до определенного предела).

Поэтому относительное изменение амплитуды от частоты и фазы от ω – φ(ω) были введены как основные частотные характеристики:

АЧХ: - амплитудная частотная характеристика,

ФЧХ: φ (ω)– фазовая частотная характеристика.

Примерный вид у обычных инерционных (динамических) звеньев.

АЧХ в силу инерционности по мере увеличения ω спадает до нуля. Чем больше инерционность звена (САУ), тем уже полоса пропускания.

Теоретически АЧХ продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается до уровня 5% от А(0).

Задача. Как получить аналитически выражения для А(ω) и φ(ω)?

Решение: На основе примера ЭД п.т.н.в. – дифференциальное уравнение 2-го порядка

, (1)

где у = Ω, х = М_с – такое обозначение удобнее для вывода (проще запись).

При гармоническом сигнале вход x(t) равен:

x=Xe^jωt

тогда

y=Ye^j(ωt+φ),

а производные будут иметь вид:

x⁽ⁿ⁾=(jω)ⁿXe^jωt

y^(k)=(jω)^kYe^j(ωt+φ)

Подставим все это в исходное уравнение, тогда

/

Сократим обе части на е^jωt, тогда после преобразования получим:

(2)

Это выражение называется частотной передаточной функцией W(jω), которая являясь функцией комплексного переменного представляется как

(3)

сравнивая (2) и (3) получим

,

Если сравнить W(jω) с можно сделать вывод (правило):

Для получения частотной передаточной функции на основе ПФ W(s) необходимо в последней сделать замену s = jω.

Решая аналогичные примеры, или в общем виде через преобразование Фурье (s = jω) получим тоже правило.

Примечание: Частная ПФ – есть преобразование Фурье функции веса, т.е. имеет место интегральное преобразование

.

Частотная ПФ может быть представлена в виде

,

где A(ω) – модуль, φ(ω) – аргумент (фаза),

U(ω), V(ω) – вещественная и мнимая частотные характеристики (ВЧХ и МЧХ).

А(ω) определяется как отношение модулей числителя и знаменателя ЧПФ, а фаза φ(ω) – как разность аргументов числителя и знаменателя.

Например:

Правило получения модуля: умножение на сопряженное комплексное число и извлечение корня, т.е. как гипотенуза по Пифагору: .

Правило определения фаз: arctg отношения мнимой части комплексного числа к вещественной.

Частотные характеристики удобно изображать графически в виде годографа амплитудно-фазовой характеристики (АФХ):

Методика построения:

1) строится таблица

2) для разных частот рассчитываются А(ω_i), φ(ω_i)

3) вычисляются U(ω_i) и V(ω_i) по формулам (так удобнее и точнее):

U(ω_i) = A(ω_i) cosω_it

V(ω_i) = A(ω_i) sinω_it

4) на комплексную плоскость наносятся точки [U(ω_i), V(ω_i)] для каждой ω_i и соединяются плавной кривой.

Для построения частотных характеристик удобнее использовать логарифмический масштаб, т.к. значительно упрощается построение А(ω) – по существу для этого используется кусочно-ломаная линия.

Примечание: U(ω) и V(ω) в ТАУ редко определяют по правилу выделения в W(jω) вещественной и мнимой составляющих, т.к. процедура весьма затруднительна.