Методы расчета электрических цепей постоянного тока

А. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

Рис.1.25.

1. Определяем количество ветвей в=3, узлов у=2, независимых контуров

2. Выбираем произвольно и обозначаем на схеме условные положительные направления токов в ветвях.

3. Составляем у-1=1 уравнений по первому закону Кирхгофа;

Для узла а:

4. Принимаем произвольно и обозначаем на схеме направления обхода независимых контуров.

5. Для этих контуров составляем уравнение по второму закону Кирхгофа

6. Совместно решаем уравнения (1.2) и (1.3) относительно токов в ветвях

7. Проставляем на схеме истинные направления токов в ветвях.

Метод универсален, нагляден и прост, но в случае трех – и более контурной цепи требует громоздких вычислений.

Б. Метод контурных токов.

Рис.1.26.

1. Определяем количество ветвей в=3, узлов у=2 – и независимых контуров

2. Принимаем, что в каждом из выбранных течет свой автономный контурной ток. Выбираем произвольно и обозначаем на схеме их условные положительные направления (здесь по часовой стрелке). Обозначение

3. Для каждого контура составляем уравнения по второму закону Кирхгофа (направления обхода контуров соответствует контурным токам)

В этих уравнениях присутствуют и контурные токи, и токи смежных контуров, т.к. условно принято, что контурный ток течет только в пределах данного контура, следовательно, в смежной ветви текут два контурных тока

навстречу друг другу.

4. Вычисляем собственные сопротивления контуров, как сумму сопротивлений, входящих в данный контур, и обозначаем их

5. Вычисляем взаимные сопротивления смежные контуров, как сумму сопротивлений смежной ветви контуров , . При этом, если в смежной ветви контурные токи текут в противоположных направлениях, эти сопротивления записывают со знаком «-», а если в одном направлении, то со знаком «+».

6. Определяем контурные ЭДС, как алгебраическую сумму ЭДС, входящих в контур. Если направления ЭДС совпадает с контурным током, ей присваивается знак «+», если оно противоположно контурному току – знак « - ». Контурные ЭДС обозначаем

(1.7)

7. Переписываем систему уравнений (1.4) в канонической форме и присваиваем значение коэффициентом и свободным членам в соответствии с (1.5), (1.6.), (1.7).

8. Решаем последнюю систему уравнений относительно контурных токов . (Если в результате решения, какой-либо контурный ток получается со знаком «-», это означает, что его действительное направление противоположно ранее принятому).

9. Указываем на схеме рис. 1.26. истинные направления контурных токов

10. Определяем значение и направления токов в ветвях:

- если ветвь принадлежит только одному контуру, ток в ней по величине и направлению соответствует контурному;

- если ветвь смежная для двух контуров, ток в ней равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, а направление определяется большим контурным током. Например, если

, то

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>I</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>22</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

11. Проставляем на схеме направления токов в ветвях (рис.1.26). При расчете цепи методом контурных токов решение целесообразно проверить по первому и второму законам Кирхгофа.

Этот метод позволяет сократить, число совместно решаемых уравнений ( для трехконтурной цепи с 6 до 3 ), однако он несколько формален и менее нагляден.

В. Метод суперпозиции

Данный метод на важном физическом принципе: воздействие нескольких источников на какой-либо элемент линейной цепи можно рассматривать как результат воздействия на этот элемент каждого источника в отдельности независимо от других.

а) б) в)

Рис.1.27. Схема для расчета цепи методом суперпозиции

1. Условно исключаем из цепи все источники, кроме одного ( при этом сохраняем их внутренние сопротивления и цепи замкнутыми). Для рассматриваемой цепи исключаем (рис.1.27.б).

2. Цепь рассчитываем методом, известным для простых разветвленных цепей, и определяем частные токи . Преобразованную в простую цепь (рис.1.27.б) рассчитываем методом свертывания:

3. Аналогично рассчитываем частные токи, создаваемые всеми другими источниками поочередно. Для рассматриваемой цепи токи создаваемые (рис.1.27.в.):

4. Определяем результирующие токи в ветвях, как алгебраическую сумму частных токов:

s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Примечание: при расчете цепей методом суперпозиции целесообразно проверить решение по первому и второму законам Кирхгофа.

Данный метод наиболее нагляден, т.к. позволяет определить влияние каждого источника на распределение токов в ветвях. Однако он применим не во всех случаях, а лишь для линейных цепей, требует большого объема вычислений с достаточно высокой точностью.

Г. Метод узлового напряжения. Вывод расчетных соотношений.

Рис.1.28. Схема для расчета цепи методом узлового напряжения.

а) б) в)

Рис.1.29(а,б,в)

Допустим, что в результате воздействия всех источников между узлами а и в установилось результирующее напряжение .

Выберем и обозначим на схеме условные положительные направления токов в ветвях: в активных ветвях – по направлению ЭДС, в пассивных – по направлению .

Для цепи (рис.1.29) составим для каждой параллельной ветви (amв, anв, apв) в отдельности уравнения по второму закону Кирхгофа и решим их относительно токов в ветвях ( , заменив сопротивления ветвей их проводимостями

Уравнение по 1 закону Кирхгофа для узла а:

Подставим в него полученные выражения и решим относительно т.е.

Для цепи с большим числом источников и ветвей

(1.8)

Результирующее напряжение между узлами в цепи, состоящей из набора параллельных ветвей, включенных между узлами, равно алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости активных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей.

При составлении данного уравнения слагаемые в числителе записываются со знаком «+», если их направления совпадают.

Последовательность расчета цепей методом узлового напряжения.

1. Приводим цепь к набору параллельных ветвей, включенных между двумя узлами.

2. Выбираем условное положительное направление результирующего напряжения .

3. Вычисляем проводимости всех ветвей .

4. Определяем по формуле (1.8).

Примечание: если в результате расчета получается со знаком «-», это означает, что его действительное направление противоположно принятому.

5. Указываем на схеме действительное направление напряжения (если это необходимо).

6. Выбираем и обозначаем на схеме условные положительные направления токов в ветвях: в активных – по направлению ЭДС, в пассивных – по направлению .

7. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждой ветви в отдельности (рис.129) и определяем токи в ветвях.

Примечание: Если какой-то ток получается со знаком « - », значит его направление противоположно принятому. По окончании расставив для одного из узлов уравнение по первому закону Кирхгофа.

Метод узлового напряжения позволяет достаточно просто рассчитать цепь. Однако он применим только для схем, проводимых к набору параллельных ветвей.

Метод эквивалентного генератора.

Пусть требуется определить ток лишь в одной ветви аmв, тогда остальная часть схемы представим в виде активного двухполюсника

не изменяется, если добавить

=

Воспользуемся методом суперпозиции

Если таков, что (х.х), то

Где - эквивалентное сопротивление двухполюсника.

Метод эквивалентного генератора позволяет определить ток только в одной ветви эл. схемы кроме этой ветви активным двухполюсником (эквивалентным генератором ЭДС) с сопротивлением

При этом согл. теореме об эквивалентном генераторе. Должно выполняться условие для этих двух равенств хотя бы двух из трех параметров относительно зажимов, где включен

По второму закону Кирхгофа

– напряжение, создаваемое в цепи при хх, т.к.

Следовательно, и с учетом

Для расчета тока в отдельной ветви необходимо определить , создаваемый активным двухполюсником при размыкании этой ветви и эквивалентным сопротивлением двухполюсника относительно этой ветви можно определить расчетным и опытным путем.

Последовательность расчета методом эквивалентного генератора.

а)

б) в)

Рис.1.31

2.

Пусть требуется определить ток в цепи аnв(рис.1.31,а).

3. Условно исключаем из цепи участок, на котором требуется определить ток, оставляя его разомкнутым (создаем режим х.х. в этой цепи (рис.1.31,б)).

4. Выбираем произвольно и обозначаем на схеме положительное направление (рис.1.31,б).

5. Определяем , пользуясь одним из известных методов

Примечание: если в результате решения получится со знаком «-», то это значит, что его действительное направление противоположно принятому.

6. Указываем на схеме если это необходимо, действительное направление .

7. Мысленно исключаем из схемы источник (оставляя их внутренние сопротивления) и определяем относительно точек, откуда исключен исследуемый участок цепи (рис.1.31,в)

8. Определяем ток в исследуемой цепи (ветви):

Направления тока совпадает с направлением .

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника) позволяет достаточно просто рассчитать отдельный участок эл. цепи а также преобразовать (упростить) цепь, заменив ее эквивалентной схемой.