Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки на и суммируя:

или

.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:

1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:

.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то

Здесь:

- потенциал внешнего силового поля;

- потенциал взаимодействия точек;

- потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;

- потенциальная энергия взаимодействующих точек.

Контрольные вопросы:

1. Чем математически являются общие теоремы динамики системы материальных точек?

2. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента системы.

3. Напишите интеграл энергии для системы материальных точек.

Пусть твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси. Тогда уравнения движения значительно упрощаются.

Действительно:

1) - кинетический момент.

Во вращательном движении , поэтому .

Но из .

Итак:

,

где - момент инерции относительно оси вращения Z.

Уравнение движения:

окончательно, .

2) Кинетическая энергия:

.

Итак,

.

Моменты инерции некоторых тел (рис. 55):

1 Тонкий прямой стержень

2. Тонкое кольцо (обод)

3. Сплошной диск

Пример:

Q – вес обода. P – вес груза. Найти a – ускорения груза Р.

Рис.56.

По теореме об изменении кинетического момента системы:

Таким образом, при вращательном движении твёрдого тела удобно пользоваться соотношениями теоремы об изменении кинетического момента системы.

Контрольные вопросы:

1. Каковы особенности расчётных формул для вращательного движения тела?

2. Напишите формулу кинетической энергии для вращающегося тела.

3. Как найти момент инерции при вращении тонкого кольца?