Периодический режим в однородной линии

При периодическом режиме под действием приложенного гармонического напряжения в любой точке линии напряжение и ток изменяются гармонически с частотой источника.

Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии x от начала линии через U = U(x) и I = I(x)

(13.4)

Так как комплексные величины U и I не зависят от времени t и являются только функциями расстояния x, то в уравнении (13.4) частные производные заменены обыкновенными.

Продифференцировав систему (13.4) по расстоянию x, получим отдельные уравнения относительно тока и напряжения

(13.5)

Введем обозначение

(13.6)

Величина g называется коэффициентом распространения волны. Тогда

(13.7)

В результате получили однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка одного вида.

Решение первого из них имеет вид:

(13.8)

Ток I проще всего находится подстановкой последнего уравнения в первое уравнение системы (13.4).

или

, (13.9)

где (13.10)

носит название волнового сопротивления линии.

(13.11)

Мгновенное значение напряжения в точке x равно мнимой части выражения .

(13.12)

где y₁ и y₂ – аргументы комплексных чисел A₁ и A₂.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке имеет две составляющие.

Рассмотрим первую из них.

Если считать точку x фиксированной и рассматривать изменение напряжения в данной точке в зависимости от времени, то первая составляющая в выражении (13.12) представляет собой гармоническую функцию с постоянной амплитудой.

Если же считать момент t фиксированным и рассматривать изменение мгновенного напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от расстояния x), то получим затухающую гармоническую волну напряжения, амплитуда которой убывает с ростом х, т.е. по мере удаления от начала линии.

Величина a, характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины линии, называется коэффициентом затухания, а величина b, характеризующая изменение фазы на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы.

Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловлено потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

На рис. 13.2 изображены волны напряжения, соответствующие двум следующим друг за другом моментами времени t₁ и t₂.

Расстояние между двумя ближайшими точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебаний напряжения различаются на 2p, называется длиной волны – l

,

. (13.13)

С течением времени волна перемещается от начала линии к ее концу. Она называется прямой или падающей волной.