Случайные величины. Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел

Определение 12.1. Случайной величиной Хназывается функция Х(ω), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множество действительных чисел . Т.о. Х(ω): Ω→ .

Пример 12.2. Дважды подбрасывается монета. Рассмотрим случайную величину Х – число выпадений герба, определённую на пространстве элементарных исходов Ω={(г,г),(г,p),(p,г),(p,p)}. Множество возможных значений случайной величины Х-{0,1,2}. Составим таблицу

Одной из важнейших характеристик случайной величины является её функция распределения.

Определение 12.3. Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x)=F_X(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х

F(x)=P{X< x}=P{X (-∞; x)}.

Замечание 12.4.Если рассматривать случайную величину Х как случайную точку на оси Ox, то функция распределения F(x) с геометрической точки зрения – это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадёт левее точки х.

Свойства функции распределения

Свойство 12.5.Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т.е.для таких, что выполняется условие F(x) F(x).

Поскольку , то события { }={ }+{ }, по определению функции распределения F( )=F( )+P{ }.

Т.к. P{ } 0, то F( )>F( ).

Свойство 12.6. Для таких, что справедливо равенство P{ }= F( )–F( ).

Замечание 12.7. Если функция распределения F(x) – непрерывная, то свойство 12.6 выполняется и при замене знаков и < на < и .

Свойство 12.8. F(x)=0; F(x)=1.

F(-∞)=P{X<-∞}=P(Ø)=0, F(+∞)=P{X<+∞}=P(Ω)=1.

Свойство 12.9. Функция распределения F(x) непрерывна слева ( F(x)=F( )).

Свойство 12.10. P{X x}=1-F(x).

{X<+∞}={X<x}+{X x}, по свойству вероятности P{X<+∞}=P{X<x}+P{X x};

P(Ω)=1= F(x)+ P{X x}, откуда P{X x}=1- F(x).