Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение

Предположим, что производятся независимо друг от друга nиспытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)=p, Р(Н)=q , p+q=1.

Определение 10.1. Последовательность испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

В nиспытаниях Бернулли элементарным исходом является:

(ω₁, ω₂,…, ω_n), где ω_i {У,Н}, i {1,…,n}.

Всего таких исходов 2ⁿ. Поскольку испытания независимы, то:

Р(ω₁, ω₂,…, ω_n)= Р(ω₁)P(ω₂)…P(ω_n).

Обозначим через P_n(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда

P_n(k)=Р{(У,…,У,Н,…,Н),(У,…,У,Н,У,Н,…,Н),…,(Н,…,Н,У,…У)}=

= p^kq^n-k + p^kq^n-k + …+ p^kq^n-k = p^kq^n-k.

Таким образом получим

P_n(k)= p^kq^n-k, k {0,…,n} , p+q=1 – формула Бернулли.

Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.

p=q= , P₂(1)= ∙ ∙ = = ;

P₄(2)= ∙( )²∙( )²=6∙ = ;

Таким образом P₂(1)> P₄(2).

Полиноминальное распределение

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E₁, E₂,…, E_k. Вероятность этих исходов обозначим P(E_i)=p_i, i {1,…,k}. Причём =1, k>2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E₁ появится r₁ раз, E₂ r₂ раз, …, E₁ – r_k раз, где =n, находится по формуле:

P(r₁, r₂,…, r_k)= … , =1, =n – формула полиноминального распределения.

Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.

Пример 10.4.В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.

Поскольку p₁= p₂= p₃= ; r₁ =3, r₂=1, r₃ =1.

Тогда P₅(3,1,1)= ∙( )³∙ ∙ = 20∙ = = .