Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Работа сил поля над зарядом на отрезке пути может быть представлена, с одной стороны, как , с другой же стороны как убыли потенциальной энергии заряда

Работа сил поля над зарядом на отрезке пути может быть представлена, с одной стороны, как , с другой же стороны как убыли потенциальной энергии заряда, т.е. как . Приравнивая эти выражения, получим

,

откуда находим, что

,

где через обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В частности,

, , ,

откуда .

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j (обозначается ). Используя обозначения градиента, можно написать:

, (Ñ - набла).

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Направление градиента совпадает с направлением , в котором при смещении из дано точки функция j, возрастая по величине, изменяется с наибольшей скоростью.

Величина производной по этому направлению дает модуль градиента. Частные производные представляют собой проекции градиента на координатные оси . Проекция градиента на ^ к нему направление t, очевидно, равна нулю: .

Поясним соотношения между напряженностью поля и потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией .

Рассмотрим точку поля 1, положение которой определяется радиусом-вектором . При смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковой величине малый отрезок наибольшее

положительное приращение j получается для

направления от точки 1 к заряду , если он положителен, и от заряда к точке 1, если отрицателен. Следовательно, направление градиента может быть представлено в виде

,

где (-) соответствует положительному заряду, а (+) – отрицательному. Проекция на направление равна

или .