Структура математической модели химического реактора

Методы расчета и проектирование химических реакторов основаны на моделировании реакторов и процессов в них.

Моделирование - это метод изучения разных объектов, при котором исследование проводят на модели, а результаты количественно распространяют на оригинал. Модель может представлять собой уменьшенную по определенным законам (или в некоторых случаях увеличенную) копию реального объекта. Но моделью может быть и определенная система представлений о реальном объекте, который выражается как совокупность математических структур, уравнений, неравенств, таблиц, графиков. Такую модель называют математическим описанием объекта или его математической моделью.

Математическая модель химического реактора должна быть с одного стороны довольно простой, с другой стороны - довольно точно передавать количественные закономерности протекания процесса. Эти требования находятся в противоречии и разработка математической модели очень сложная задача.

Модель- специально созданный объект любой природы, бо­лее простой по сравнению с исследуемым по всем свойствам, кроме тех, которые надо изучить, и способный заменить исследуемый объект так, чтобы можно было получить новую инфор­мацию о нем.

Известный пример моделирования: обтекание самолета, ле­тящего в воздухе, исследуют обтеканием его модели в аэроди­намической трубе, В данном случае модель самолета - его гео­метрически подобная уменьшенная копия. Моделируется (исследуется) только обтекание корпуса самолета потоком воз­духа и не исследуются другие свойства самолета, например удобство и безопасность пассажира в кресле. Для этого надо построить другую модель - отдельное кресло с манекеном на устройстве, воспроизводящем возможные его положения в поле­те. Как видим, модель учитывает какие-то явления (обтекание корпуса самолета потоком воздуха в одном случае или располо­жение человека в кресле в другом случае при моделировании разных процессов в самолете) и параметры процессов (конфигурация крыльев и корпуса или конфигурация кресла). Учитываемые в модели явления назовем составляющими мо­дели.

Модель специально создают, чтобы исследовать какие-либо конкретные свойства. Для изучения разных свойств объекта может быть соз­дано несколько его моделей, каждая из которых отвечает опре­деленной цели исследования. Можно говорить о единстве "цель - модель". Если модель отражает большее (или меньшее) число свойств, то она называется более широкой (или более узкой). Используемое иногда понятие "общая модель" как модель, от­ражающая все свойства объекта, - бессмысленно по сути.

Чтобы достигнуть поставленной цели, на изучаемые свойства модели должны оказывать влияние те же факторы, что и на свойства объекта. В этом и заключается творческий и научный подход к построению модели: учесть именно те явления, кото­рые существенны для изучаемых свойств. Не все составляющие и параметры в одинаковой степени влияют на изучаемые свойства. Изменение некоторых параметров и наличие тех или иных составляющих может очень слабо влиять на эти свойства. Такие составляющие и параметры называют несущественными, и их можно не учитывать в модели. Соответственно, простая модель содержит лишь существенные составляющие, иначе мо­дель будет избыточной. Поэтому простая модель не есть простая по внешнему виду (например, несложная по структуре, кон­струкции). Но если в модель входят не все составляющие, суще­ственно влияющие на изучаемые свойства, то она будет непол­ной, и результаты ее исследования могут не отвечать свойствам объекта.

Обратим внимание на следующий признак модели: она должна предсказывать неизвестные свойства объекта, давать о нем новую информацию. Это может быть достигнуто, во-первых, если модель простая, и ее можно исследовать, работать с ней, и, во-вторых, если она достаточно полная, чтобы могли проявиться изучаемые свойства.

Впервые моделирование как метод научного познания был использован в аэро- и гидродинамике. Была развита теория по­добия, позволяющая переносить результаты экспериментов, получаемых на установках небольшого масштаба (моделях), на реальные объекты большого масштаба. Основой таких исследо­ваний является физическое моделирование,при котором природа модели и исследуемого объекта одна и та же. Физическое моде­лирование и теория подобия нашли широкое применение в хи­мической технологии при исследовании тепловых и диффузи­онных процессов. Были сделаны попытки использовать теорию подобия и для химических процессов и реакторов. Однако ее применение здесь оказалось весьма ограниченным из-за не­совместимости условий подобия для химических и физических составляющих процесса в реакторах разного масштаба. Напри­мер, степень превращения реагентов зависит от времени пребы­вания их в реакторе, равного отношению размера к скорости потока. Условия тепло- и массопереноса, как следует из теории подобия, зависит от критерия Рейнольдса, пропорционального произведению размера на скорость. Сделать одинаковыми в аппаратах разного масштаба и отношение, и произведение двух величин невозможно. Вклад химических и физических состав­ляющих реакционного процесса и их взаимовлияние и, следова­тельно, влияние их на результаты процесса в целом зависят от масштаба. В аппарате небольшого размера выделяющаяся тепло­та легко теряется и слабо влияет на скорость превращения. В аппарате большого размера выделяющаяся теплота легче "запирается" в реакторе, существенно влияет на поле темпера­тур и, следовательно, на скорость и результаты протекания реакции. Вклад физических составляющих в реакционный про­цесс в аппарате большого масштаба становится существенным.

Рис. 4. Классификация моделей

Трудности масштабного перехода для реакционных процес­сов удается преодолеть, используя математическое моделирова­ние,в котором модель и объект имеют разную физическую при­роду, но одинаковые свойства. Два устройства - механический маятник и замкнутый электрический контур, состоящий из кон­денсатора и катушки индуктивности, - имеют разную физи­ческую природу, но одинаковое свойство: колебания механиче­ские и электрические соответственно. Можно так подобрать параметры этих устройств (длину маятника и отношение ем­кости к индуктивности), что колебания по частоте будут одина­ковыми. Тогда электрический колебательный контур будет мо­делью маятника. Это возможно потому, что свойство обоих уст­ройств - колебания - описывается одними и теми же уравне­ниями. Отсюда и название вида моделирования - математиче­ское. Уравнение колебания в данном случае также является ма­тематической моделью и механического маятника, и электриче­ского контура. Соответственно, математические модели подраз­деляются на реальные, представленные неким физическим уст­ройством, и знаковые, представленные математическими урав­нениями. Классификация моделей приведена на рис. 4.

Естественно, для построения реальной математической моде­ли надо сначала создать знаковую. Поэтому, как правило, мате­матическую модель отождествляют только с уравнениями, опи­сывающими объект, т. е. со знаковой математической моделью, а исследование свойств этих уравнений называют математиче­ским моделированием. Универсальной реальной математи­ческой моделью является электронная вычислительная машина (ЭВМ). По уравнениям, описывающим объект, ЭВМ "настраи­вают" (программируют), и ее "поведение" будет описываться этими уравнениями.

Поскольку влияние физических и химических составляющих (явлений) на реакционный процесс зависит от масштаба, имен­но их выделение - наиболее существенный момент в математическом моделировании химических процессов и реакторов. В общем виде математическое моделирование реакторов можно представить схемой, показанной на рис. 5.

Рис. 5. Схема математического моделирования химических процессов и реакторов

Ответственным этапом является анализ процесса, протекающего в химическом реакторе; анализ выявляет составляющие процесса и их взаимо­действие. Затем определяют их закономерности: термодинами­ческие и кинетические для химических превращений, парамет­ры явлений переноса и т. д. На этом этапе используют данные экспериментальных исследований. Математическое моделиро­вание не исключает эксперимент, а активно его использует, но эксперимент прецизионный, более точный, чем может быть эксперимент на реакторе. Результаты анализа процесса и иссле­дования его составляющих позволяют построить математи­ческую модель процесса - уравнения, описывающие его. Их исследуют, используя математический аппарат качественного анализа и вычислительные методы, или, как говорят, проводят вычислительный эксперимент. Полученные свойства модели надо интерпретировать как свойства изучаемого объекта, в дан­ном случае химического реактора.

Выделение составляющих сложного процесса (его декомпо­зиция) должно отвечать также условию инвариантности выде­ленных составляющих к масштабу, влияние которого учитывают в параметрах полученных уравнений математической модели и граничных условиях. Требование инвариантности можно удо­влетворить, если использовать иерархический подход к построе­нию модели. Для этого декомпозицию процесса проводят не только на составляющие, но и по их масштабу. Существенной особенностью математических моделей процесса в реакторах является их иерархическое строение (рис..6).

В молекулярном масштабе протекает химическая реак­ция, состоящая из элементарных стадий. Ее свойства (например, скорость) не зависят от масштаба реактора, т. е. ско­рость реакции зависит от условий ее протекания независимо от того, как эти условия созданы. Результатом исследования на этом уровне является кинетическая модель – зависимость скорости реакции от условий. Следующий масштабный уровень, назовем его химический процесс, есть совокупность ре­акции и явлений переноса, таких, как диффузия, теплопровод­ность. Кинетическая модель реакции входит как одна из состав­ляющих. Объем, в котором рассматривается химический про­цесс, выбирается так, чтобы закономерности процесса не зави­сели от размера реактора. Например, это может быть зерно ка­тализатора. Скорость превращения в нем зависит только от раз­мера и характеристик зерна и от условий (концентрация и тем­пература), в которых оно находится, независимо от того, как эти условия созданы. Модель химического процесса входит как одна из составляющих на следующем масштабном уровне - реак­ционная зона. Другие составляющие - явления переноса -такого же масштаба. В масштабе реактора входят как состав­ляющие реакционная зона, узлы смешения, теплообмена и др. Таким образом, математическая модель процесса в реакторе представлена системой математических моделей разного мас­штаба.

Рис. 6. Иерархическая структура математической модели процесса в химическом реакторе

Иерархическая структура математической модели процесса в реакторе позволяет:

полностью описать свойства процесса путем детального ис­следования основных процессов разного масштаба;

проводить изучение сложного процесса по частям, применяя к каждой из них специфические, прецизионные методы иссле­дования, что повышает точность и надежность результатов;

установить связи между отдельными частями и выяснить их роль в работе реактора в целом;

облегчить изучение процесса на более высоких уровнях, так как исследованием процесса на низшем уровне укрупняется информация при переходе на более высокий уровень;

решать задачи масштабного перехода.

Изучение процесса в химическом реакторе будем проводить описанным выше научным методом - математическим модели­рованием.

При разработке математической модели целесообразно использовать иерархический подход к реактору как к сложной системе. (Иерархия - это расположение частей элементов целого в порядке от высшего до низшего). Суть этого подхода заключается в том, что сложная система рассматривается как совокупность подсистем, связанных между собой.

Реактор и реакционный узел, будучи сложными объектами, имеют многоступенчатую структуру и их математические модели строятся последовательно на основе предыдущего построения их составных частей и введение соотношений, которые связывают переход с одного уровня на другой.

Важную роль математического описания химического реактора играют балансовые уравнения, являющиеся выражением общих законов сохранения массы и энергии.

Материальный баланс — один из важнейших методов описания и анализа химико-технологических процессов. Он выражает закон сохранения вещества; уравнение баланса соответствует ут­верждению: приход вещества равен рас­ходу вещества. При описании химиче­ских реакций в потоке обычно записы­вают отдельное уравнение баланса для каждого из веществ.

Рис. 7. Схема материальных потоков в аппарате смешения

n_{j вх} – n_{j вых} -n_j X_р = n_{j нак} ,

где n_{j вх} – количество вещества j, внесенное в элементарный объем ΔV за время Δτ с потоком участников реакции.

Q_вх – Q_вых Q_хр Q_т.о. = Q_нач

Q_вх – теплосодержание веществ, входящих в объем ΔV за время Δτ;

Q_хр – теплота, выделившаяся или поглотившаяся в результате химической реакции;

Q_т.о – теплота, израсходованная на теплообмен объема ΔV за время Δτ;

Для составления материального баланса по веществу А будем считать, что объемный расход реакционной смеси на входе в реактор V₀, м³/ч, на выходе V. Концентрация вещества А в потоке, входящем в реактор C_A,0, кмоль/м³, концентрация вещества А в выходящем потоке и в любой точке реактора составляет C_A, кмоль/м³, химическая реакция протекает со скоростью ω_A кмоль/м³ ч, определяемый и рассматриваемый промежуток времени dτ, при постоянной температуре, концентрации C_A.

Тогда за время dτ в объем реактора V войдет n_{A вх} = C_A,0 V₀ dτ, выйдет из реактора n_{A вых} = C_A V dτ. Израсходуется на химическую реакцию n_{A х.р.} = ω V_р dτ.

Так как в реакторе находится C_AV_р моль вещества А, изменение этого количества за время dτ составит n_{A нак} = d (C_A V_р)

Таким образом уравнение материального баланса по веществу А для реактора идеального смешения имеет вид

C_A,0 V₀ dτ - C_A V dτ – ω_A V_р d τ = d (C_A V_р)

Все члены этого уравнения измеряются в единицах количества вещества (кмоль). Разделим левую и правую часть на d τ

C_A,0 V₀ - C_A V - ω V_р = (1) - мольные потоки вещества в единицу времени. Правая часть уравнения представляет собой скорость накопления вещества в реакторе. При постоянном объеме V_р скорость накопления можно представить

V_р dC_A / dτ

Рассмотрим отдельный случай. Периодический реактор идеального смешения по условию

V₀ = 0, V = 0.

или

C_A = C_A,0 (1 – X_A)

dC_A = - C_A,0 dX_A