Каскад реакторов идеального смешения

Каскад представляет собой несколько последовательно соединенных проточных реакторов (секций) идеального смешения (рис. 5.9). Реакционная смесь проходит через все секции. Можно рассматривать в качестве примера такой модели не только систему последовательно расположенных отдельных аппаратов, но и проточный реактор, тем или иным образом разделенный внутри на секции, в каждой из которых осуществляется перемешивание реакционной смеси (рис. 5.10). Например, близка к такому типу аппарата тарельчатая барботажная колонна.

Рис. 5.9. Схема каскада реакторов идеального смешения

Pиc. 5.10. Схема секционного аппарата
с перемешиванием

Для каскада реакторов идеального смешения должны выполняться следующие допущения об идеальности:

· в каждой секции каскада выполняются условия реактора идеального смешения, т. е. мгновенное изменение параметров процесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке, выходящем из нее;

· отсутствие обратного влияния: каждый последующий реактор не влияет на предыдущий.

На рис. 5.11 сравнивается характер изменения концентрации исходного реагента при прохождении реакционной смеси через различные реакторы.

Рис. 5.11. Изменение концентрации реагента при прохождении реакционной смеси через последовательные секции единичного реактора идеального смешения (1), реактора идеального вытеснения (2) и каскада реакторов идеального смешения (3)

Математическая модель каскада реакторов идеального смешения, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участнику реакции, включающую, по меньшей мере, N уравнений по числу секций каскада.

Уравнения материального баланса для любой секции каскада однотипны. Материальный баланс по компоненту J для i-й секции в стационарном режиме работы каскада имеет вид

(5.18)

[см. уравнение (5.6)] или

где _i – среднее время пребывания реакционной смеси в i-й секции;
V – реакционный объем i-й секции; C_J,j–1 – концентрация участника реакции J на входе в i-ю секцию, равная концентрации на выходе из (i–1)-й секции; с_J,i – концентрация компонента J на выходе из i-й секций.

Расчет каскада реакторов идеального смешения обычно сводится к определению числа секций заданного объема, необходимых для достижения определенной глубины превращения, или к определению состава реакционной смеси на выходе из i-й секции каскада.

Допущения об отсутствии обратного влияния в каскаде реакторов идеального смешения существенно упрощают расчет. Он сводится к последовательному решению уравнений материального баланса для каждой секции относительно концентрации реагента (или продукта) на выходе. Выходной параметр для первой секции (концентрация с_J,i), полученный из первого уравнения, является входным параметром для второй секции, выходной параметр второй секции – входным для третьей и т. д.

Различают аналитический метод и численные методы расчета каскада. Применение аналитического метода возможно в том случае, если уравнения материального баланса могут быть аналитически решены относительно концентрации с_J. Это можно сделать, например, если протекающие реакции описываются кинетическими уравнениями первого или второго порядка. Рассмотрим определение концентрации реагента А на выходе из каскада реакторов, включающего в себя N секций равного объема (V₁ = V₂ = ... = V_i...= V_N)при проведении реакции первого порядка, скорость которой описывается уравнением w_rA = kс_А. Из уравнения материального баланса для первой секции

определяем

Полученное значение с_А,1 подставляем в качестве входной концентрации в уравнение материального баланса для второй секции:

из него определяем

При равенстве объемoв секций ₁ = ₂ = ... = _i = ... =

Продолжая аналогичные расчеты, для N–Pi (последней) секции каскада, получим

(5.19)

Если учесть, что ,уравнение (5.19)можно записать в виде

и тогда можно рассчитать число секций заданного объема, необходимых для достижения степени превращения х_А:

Если полученное при расчете по уравнению (5.20)N является дробным числом, его округляют в большую сторону для того, чтобы было выполнено условие с_А,N < c_A,f.

Уравнение (5.20)справедливо, естественно, только для реакции первого порядка.

Для реакций, описываемых кинетическими уравнениями, не позволяющими аналитически решить уравнение (5.18)относительно с (например, реакции дробного порядка), при расчете каскада приходится прибегать к численным методам. Так как уравнения материального баланса для всех реакций однотипны, можно составить алгоритм решения этих уравнений для i-й секции и последовательно применить его N paз.

Наглядным является графический способ расчета каскада реакторов, использующий описанный выше графический метод определения концентрации реагентов на выходе из реактора идеального смешения. Принцип расчета остается прежним. Сначала, графически решая уравнение для первой секции

находят концентрацию с_А,1 (рис. 5.12), построив кинетическую кривую w_rA(c_A) и прямую с тангенсом угла наклона (–1/ _i), пересекающую ось абсцисс в точке с_А,0. Определив с_А,1, решают уравнение для второй секции:

Для расчета концентрации на выходе из N-го реактора графическое решение повторяют N раз.

Если требуется рассчитать число секций N,необходимое для достижения заданной степени превращения х_А, графическое построение продолжают до тех пор, пока абсцисса точки пересечения прямой

и кривой w_r,R(c_A) не будет удовлетворять условию с_А,1 ≤ с_А,0(1 – х_А).

Рис. 5.12. Зависимости скорости реакции от концентрации
для расчета каскада реакторов идеального смешения,
состоящего из секций одинакового объема

Пример 5.4.Реакцию, описанную в примерах 5.1 и 5.2 (реакция второго порядка 2А R + S, кинетическое уравнение w_r,A = 2,5с , конечная степень превращения х_А,f = 0,8, с_А,0 = 4 кмоль∙м^–3), проводят в каскаде реакторов идеального смешения. Все секции каскада имеют одинаковый объем, подобранный таким образом, что среднее время пребывания в каждой из них _i равно 1/10 среднего времени пребывания в единичном реакторе идеального смешения, рассчитанного в примере 5.1 ( _i = 0,2 ч). Определить, сколько таких секций потребуется для достижения заданной степени превращения.

Решение. Для решения используем графический метод. Для этого построим графики функции w_rA = 2,5с (парабола) и

(прямая с тангенсом угла наклона tgα = –(1/τ) = –5,0).

Точка пересечения этих линий M₁ (см. рис. 5.13), позволяет определить концентрацию на выходе из первой секции каскада. Проводя параллельные прямые

до тех пор, пока не будет выполнено условие с_А,i < 0,8 кмоль·м^–3 (так как c_A,f = с_а,0 (1 – x_A,f) = 4(1 – 0,8) = 0,8 кмоль∙м^–3), получаем, что для достижения указанной степени превращения необходимо четыре секции. Оказывается, что на выходе из четвертой секции степень превращения даже выше, чем задана по условию, но в трех секциях степень превращения не достигается.

Рис. 5.13. Зависимости скорости реакции от концентрации
для расчета числа секций каскада реакторов идеального смешения

Таким образом, суммарное среднее время пребывания реагентов в каскаде реакторов идеального смешения для условий примера 5.3 составляет τ_Σкаск= 4 _i = 0,8 ч, т. е. оно больше, чем в случае реактора идеального вытеснения (τ_В = 0,4 ч; см. пример 5.2), и меньше, чем в единичном реакторе идеального смешения ( _B = 2 ч; см. пример 5.1).

Вопросы и упражнения для повторения и самостоятельной работы

1. Сформулируйте допущения модели идеального смешения.

2. Каковы основные причины отклонения от идеальности в реальных реакторах смешения?

3. Почему при составлении балансовых уравнений для реактора идеального смешения в качестве элементарного объема может быть принят полный объем реактора?

4. Составьте уравнение материального баланса для периодического реактора идеального смешения.

5. Проанализируйте основные недостатки и достоинства реактора периодического действия. В каких производствах чаше встречаются такие реакторы?

6. Составьте уравнение материального баланса для стационарного проточного реактора идеального смешения.

7. В чем заключается различие между действительным и средним временем пребывания реагентов в проточном реакторе? Для какого типа проточных реакторов действительное и среднее время пребывания совпадают?

8. Определите объем проточного реактора идеального смешения, необходимый для достижения степени превращения исходного реагента х_А = 0,85 при проведении реакции 2А R + S, если с_А,0=2,5 кмоль/м³, k = 18,2 м³/(кмоль·ч), реагенты подают в реактор с объемным расходом v = 1,2 м³/ч.

9. Определите степени превращения реагентов А и В на выходе из проточного реактора идеального смешения объемом 0,5 м³ при проведении реакции А + В R + S, если с_А,0 = 1,2 кмоль/м³, с_B,0 = 1,6 кмоль/м³, объемный расход v = 5 м³/ч, константа скорости k = 12 м³/(кмоль∙ч).

10. В проточном реакторе идеального смешения проводят реакцию 2А R + S, протекающую в газовой фазе при температуре 800 К и давлении 6∙10⁵ Па. В реактор подают смесь, объемная доля реагента А в которой составляет 70 %, а объемная доля инертного компонента – 30 %. Определите среднее время пребывания , необходимое для достижения степени превращения х_А = 0,8, если константа скорости k = 414,7 м³/(кмоль∙ч).

11. В проточном реакторе идеального смешения проводят обратимую реакцию . Определите объем реактора, необходимый для достижения степени превращения, составляющей 75 % равновесной, если объемный расход v = 0,01 м³/ч, k₁ = 0,18 ч^–1, k₂= 0,24 ч^–1.

12. В проточном реакторе идеального смешения при температуре 330 К проводят реакцию второго порядка А + В R + S. В реактор подают реагенты с объемным расходом v = 2 м³/ч и начальными концентрациями с_А,0 = с_В,0= 1 кмоль/м³. Константа скорости реакции задана в виде выражения

Определите объем реактора, необходимый для достижения степени превращения x_А = 0,8.

13. В каких случаях появляется необходимость численного (например, графического) решения уравнения материального баланса проточного реактора идеального смешения для определения концентрации реагента на выходе из реактора? В чем суть такого решения?

14. Определите концентрацию реагента А на выходе из проточного реактора идеального смешения объемом 1,2 м³, если для проведения реакции А R + S, кинетика которой описывается уравнением w_rА = 3c_A^l,5, подают реагент А с начальной концентрацией с_A,0 = 1,5 кмоль/м³ и объемным расходом v = 3 м³/ч.

15. Определите максимально возможную концентрацию промежуточного продукта R при проведении в изотермическом реакторе идеального смешения последовательных реакций

если k₁= 0,14 ч^–1, k₂= 0,2 ч^–1, с_А,0 = 0,7 кмоль/м³.

16. Определите максимально возможную производительность по промежуточному продукту R при проведении в изотермическом реакторе идеального смешения последовательных реакций

если k₁ = 0,4 ч^–1, k₂= 0,15 ч^–1, объемный расход v = 0,5 м³/ч, с_А,0 = 0,7 кмоль/м³. Какой объем реактора для этого потребуется? Какая селективность будет достигнута?

17. Сформулируйте допущения модели идеального вытеснения. При каких условиях можно приблизиться в реальном реакторе к идеальному вытеснению?

18. Почему при ламинарном течении реакционного потока в проточном реакторе режим идеального вытеснения не может быть достигнут?

19. Составьте уравнение материального баланса реактора идеального вытеснения в дифференциальной форме. Какие явления переноса (импульса, теплоты, массы) отражены в этом уравнении?

20. Определите объем реактора идеального вытеснения для проведения реакции 2А R + S, если k = 5 м³/(кмоль∙ч), с_А,0 = 2 кмоль/м³, объемный расход v = 12 м³/ч, необходимая степень превращения х_А – 0,75.

21. Определите объем реактора идеального вытеснения для проведения обратимой реакции с целью достижения степени превращения, составляющей 70 % равновесной, если k₁= 0,18 ч^–1, k₂= 0,24 ч^–1, объемный расход v = 1 м³/ч.

22. В реакторе идеального вытеснения проводят реакцию А + В R + S. Определите производительность по продукту R, если с_А,0 – с_B,0 = 2 кмоль/м³, объем реактора V= 1,4 м³ объемный расход
и = 28 м³/ч, константа скорости k = 18 м³/(кмоль∙ч).

23. Определите степень превращения на выходе из реактора идеального вытеснения объемом 1 м³ при проведении реакции, если объемный расход v = 2 м³/ч, константа скорости прямой реакции k₁ = 4,6 ч^–1, константа равновесия К_с= 4.

24. В реакторе идеального вытеснения проводят реакцию А + 2В R + 2S, кинетика, которой описывается уравнением . Определите объем реактора для достижения степени превращения реагента х_А = 0,6, если k₁= 1,0 ч^–1 с_B,0 = 0,8 кмоль/м³, с_А,0 = 0,6 кмоль/м³, объемный расход v = 0,01 м³/ч.

25. Назовите основную причину, по которой для достижения той же степени превращения при одинаковых условиях проведения реакции в проточном реакторе идеального смешения требуется существенно большее время пребывания реакционной смеси, чем в реакторе идеального вытеснения или в периодическом реакторе идеального смешения?

26. Проанализируйте достоинства и недостатки проточного реактора, режим которого близок к идеальному смешению, по сравнению с реактором, режим в котором близок к идеальному вытеснению.

27. В проточном реакторе идеального смешения при проведении реакции первого порядка А R достигнута степень превращения реагента А х_А = 0,8 при температуре, когда константа скорости k = 0,2 ч^–1.

Во сколько раз меньший объем реактора идеального вытеснения потребуется для проведения этой же реакции при прочих равных условиях (объемный расход и температура)?

28. В реакторе идеального вытеснения при проведении реакции 2А R + S получена степень превращения х_А= 0,75 при условии, что с_А,0 = 1,2 кмоль/м³, среднее время пребывания в реакторе = 0,5 ч. Определите, какая степень превращения будет достигнута в реакторе идеального смешения при тех же значениях с_А,0 и .

29. Реакция А + В R описывается кинетическим уравнением второго порядка. При ее проведении в реакторе идеального вытеснения объемом V достигается степень превращения х_А= 0,9, если с_B,0: с_А,0= 2. Каким должно быть отношение начальных концентраций исходных реагентов, чтобы в реакторе идеального смешения равного объема V при равном объемном расходе реакционной смеси достигалась та же степень превращения?

30. Сформулируйте основные допущения модели каскада реакторов идеального смешения.

31. Докажите, что модель каскада реакторов идеального смешения является промежуточной между моделями идеального вытеснения и идеального смешения.

32. Определите степень превращения реагента А при проведении реакции А + В R + S в двух последовательно соединенных реакторах идеального смешения равного объема V₁ = V₂= 0,5 м³, если с_A,0=с_B,0=2,2 кмоль/м³, объемный расход v = 3 м³/ч, k = 2,5 м³/(кмоль∙ч).

33. Определите производительность по продукту R при проведении обратимой реакции А R в каскаде из двух реакторов идеального смешения равного объема V₁ = V₂ = 0,3 м³, если с_А,0= 1,5 кмоль/м³, объемный расход V – 1 м³/ч, k₁= 0,32 ч^–1, k₂ = 0,18 ч^–1.

34. В каскаде из двух реакторов идеального смешения проводят реакцию первого порядка А R. Какой объем (V₁= V₂)должны иметь секции каскада для достижения степени превращения х_А = 0,75, если
k = 2 ч^–1, объемный расход v = 2,5 м³/ч?

35. В каскаде реакторов идеального смешения равного объема
(V_i = 1 м³) проводят реакцию первого порядка А R. Определите число секций каскада для достижения степени превращения х_А= 0,9, если объемный расход v = 1 м³/ч, k = 0,32 ч^–1.

36. Определите число секций каскада реакторов идеального смешения равного объема, необходимых для достижения степени превращения х_А = 0,65, при проведении реакции 2А R + 2S, если
с_А,0 = 20 кмоль/м³, k₁ = 1 м³/(кмоль∙ч), k₂ = 0,8 м³/(кмоль∙ч), среднее время пребывания в каждой секции = 0,05 ч.

37. Определите число секций каскада реакторов идеального смешения равного объема V = 0,5 м³, необходимых для достижения степени превращения х_А = 0,65 при проведении реакции A + 2B → R + 2S, кинетика которой описывается уравнением w_rA = kс_A^0,5с_B^1,5,если k = 2,5 м³/(кмоль∙ч),
с_А,0 = 1 кмоль/м³, с_B,0 = 2 кмоль/м³, объемный расход v = 10 м³/ч.

38. В каскаде реакторов идеального смешения проводят реакцию А + 2В R + 2S до достижения 80 %-ной степени превращения реагента А. Определите число секций и суммарный объем каскада реакторов для следующих условий осуществления процесса: с_А,0 = 1 кмоль/м³, с_B,0 = 1 кмоль/м³, k = 0,2 м³/(кмоль∙ч), объем каждой секции V_i =1м³, объемный расход v = 0,2 м³/ч. Определите также объем единичного реактора идеального смешения и объем реактора идеального вытеснения для тех же условий проведения процесса.