Графическая интерпретация теории Кулона-Мора. Условие предельного равновесия.

Приведённые выше положения наглядно иллюстрируются с помощью графического построения кругов напряжений Мора для предельного состояния. Пусть некоторый образец связного грунта испытывался в условиях плоской задачи (рис. 3.17.б) при постоянном значении минимального главного напряжения так, чтобы при некотором значении максимального главного напряжения σ₁ наступило его разрушение, т. е. в нём сформировались площадки скольжения. В координатных осях τ-σ построим в соответствии с правилами курса сопротивления материалов круг напряжений Мора (рис. 3.18.).

Рис. 3.18. Круг напряжений и график сопротивления сдвигу связного грунта в условиях плоской задачи.

Отложим на оси τ отрезок ОЕ, соответствующий сцеплению с данного грунта. Если теперь через точку Е провести касательную к кругу напряжений, пересекающуюся с осью σ, то получим графическое изображение прямой, соответствующей уравнению сопротивления сдвигу связного грунта (3.40).

Действительно, из треугольника O’AC’ можно записать , т. е. , что соответствует уравнению (3.43). Поскольку в соответствии с построениями на рис. 3.18. , отсюда легко получить зависимость

. (3.40)

Можно также показать, что для любой точки на круге напряжений с координатами τ_α и σ_α соответствующими напряжениям на наклонной площадке, не находящейся в предельном состоянии, угол отклонения Θ будет всегда меньше максимального угла отклонения (см. уравнения (3.46), (3.47)). Также отметим, что прямая сопротивления сдвигу не может пересекать круг напряжений, так как иначе пришлось бы допустить, что Θ может быть больше φ или, что то же самое, τ может быть больше τ^пр, а это, как следует из рис. 3.16., физически невозможно.

Точка касания А прямой сопротивления сдвигу к кругу напряжений определяет наклон площадки скольжения к направлению главных напряжений. Поскольку треугольник O’AC прямоугольный, имеем . Отсюда получаем одно из двух условий выражения (3.42): . Так как главные напряжения взаимно перпендикулярны, это определяет и второе условие . Если же аналогичным образом рассмотреть и вторую касательную к кругу напряжений O’A’ на рис. 3.18., все эти рассуждения можно использовать и для второй сопряжённой площадки скольжения, показанной на рис. 3.17.в.

Из построений на рис. 3.18. легко получить следующее важное условие: так как , а , то, учитывая, что ; ; , имеем . (3.52)

Выражение (3.52) часто называют условием предельного равновесия связных грунтов, так как оно показывает предельное соотношение между главными напряжениями σ₁ и σ₃, при котором в данной точке массива грунта, характеризуемого параметрами прочности φ и , наступает состояние предельного равновесия. Очевидно, что для сыпучих грунтов, для которых с=0, условие предельного равновесия будет иметь более простой вид

. (3.53)

Отметим, что если в какой-либо точке грунта имеет место такое соотношение главных напряжений, при котором правая часть уравнений (3.52) или (3.53) оказывается меньше величины Sinφ данного грунта, это означает, что грунт в этой точке находится в допредельном состоянии по прочности. В этом нетрудно убедиться, построив соответствующий круг напряжений, так как он не будет касаться прямой сопротивления сдвигу. Соответственно условие, когда правая часть приведённых уравнений оказывается больше величины Sinφ, физически невозможно, поскольку величина Θ не может быть больше φ.

Если учесть, что главные напряжения выражаются через компоненты напряжений с помощью известных зависимостей

, (3.54)

То уравнение (3.52) можно записать в виде

. (3.55)

Это условие используется при решении задач теории предельного равновесия. Аналогичным образом выражается уравнение (3.53)

. (3.56)

3.4.4. Сопротивление грунта сдвигу при трёхосном сжатии.

Опыты на трёхосное сжатие позволяют испытывать образцы любых грунтов при обжатии их наперёд заданным боковым давлением, что ближе отвечает работе грунта в природных условиях и даёт наиболее надёжные результаты определения их прочностных и деформационных характеристик.

Испытания грунта на трёхосное сжатие обычно проводят в стабилометрах (рис. 3.19).

Рис. 32.19. Схема стабилометра.

1 – кран;

2 – штамп;

3 – манометр;

4 – образец грунта;

5 – индикатор часового типа;

6 – резиновая оболочка;

7 – рабочая камера;

8 – волюмометр.

Цилиндрический образец грунта (4) помещается в рабочую камеру прибора (7), заполненную водой или глицерином. Для того, чтобы предохранить образец от поступления жидкости, его окружают тонкой резиновой оболочкой (6). Нормальное напряжение σ₁ создаётся в образце через штамп (2) с помощью нагрузочного устройства. Боковое напряжение осуществляется созданием в жидкости рабочей камеры гидростатического давления. Измерение давления в камере производится манометром (3), вертикальных перемещений образца – индикаторами (5). Для отжатия воды из образца в процессе испытания или, наоборот, его насыщения используется система дырчатых штампа и поддона с трубками, прикрытыми кранами (1). Для вычисления горизонтальных перемещений используется тонкая градуированная трубка (волюмометр 8), снабжённая краном (1) и позволяющая определить объём жидкости, вытекающей из рабочей камеры прибора, что соответствует объёмной деформации образца.

Испытания в стабилометре проводятся для изучения деформационных и прочностных характеристик грунтов. Причём в первом случае опыт можно проводить как в условиях компрессионного испытания, так и по схеме трёхосного сжатия. В случае компрессионного испытания кран волюмометра перекрывается, производится вертикальное нагружение образца и с помощью манометра определяются возникающие в результате горизонтальные напряжения . Это позволяет для любой ступени нагружения по формуле (3.18) вычислить соответствующие значения коэффициента бокового давления и коэффициент Пуассона. При испытаниях по схеме трёхосного сжатия кран волюмометра остаётся открытым. По показаниям индикаторов рассчитывают вертикальную деформацию ε₁, по уменьшению объёма жидкости в рабочей камере – боковые деформации , по показаниям манометра – соответствующие им боковые напряжения и с использованием уравнений (3.26) и (3.27) находят значения модуля объёмного сжатия К и модуля сдвига G.

Прочностные характеристики грунта в стабилометре определяют испытанием нескольких образцов-близнецов. Для этого в каждом испытании к образцу прикладывается постоянное, но разное для различных образцов боковое давление. Для каждого из этих образцов определяется значение σ₁, соответствующее разрушению. Затем по результатам испытаний строят круги предельных напряжений (рис. 3.20.). Касательная к этим кругам позволяет определить параметры сопротивления грунта сдвигу φ и с. Для песчаного грунта достаточно проведения одного опыта, так как при с=0 касательная к кругу Мора в этом случае выходит из начала координат (рис. 3.20.а). Уравнения касательных к кругам напряжений для связных и сыпучих грунтов, (3.52) и (3.53), соответственно, выведены ранее.

Рис. 3.20. Определение прочностных характеристик грунта по опытам в стабилометре:

а) связный грунт;

б) сыпучий грунт.