Понятие отношения

Рассмотрим некоторые основные понятия теории отношений, необходимые для дальнейшего рассмотрения реляционной модели данных.

Парой или упорядоченной парой называют два объекта, взятых в определенном порядке.

Примеры пар: <x, y>, <1, 2>, <2, 2>.

Пара отличается от двухэлементного множества следующим:

- в паре порядок элементов имеет значение;

- первой и второй компонентами пары может быть один и тот же объект, тогда как в множество каждый объект может входить только один раз.

Упорядоченная последовательность произвольной конечной длины называется кортежем. Пара представляет собой кортеж длиной 2.

Бинарным отношением, заданным на множествах M и N, является некоторое подмножество тех пар (кортежей) <x, y> из декартова (прямого) произведения M*N, между элементами которых существует связь R. Здесь R – имя отношения.

Бинарное отношение – это множество кортежей длиной 2.

Для кортежей, принадлежащих отношению R, приняты следующие обозначения:

x R y - -x находится в отношении R к y;

R(x, y) – между x и y существует отношение R;

<x, y> Î R – кортеж <x, y> принадлежит отношению R.

Пусть заданы два множества M = {m1, m2} и N = {n1, n2, n3}. В результате декартова произведения множеств M*N будет получено множество кортежей: {<m1, n1>, {m1, n2>, <m1, n3>, <m2, n1>, <m2, n2>, <m2, n3>}. Отношению R будут принадлежать те кортежи, для которых m i находится в отношении R к n j.

В частном случае можно задать отношение на одном множестве M. Это будет подмножество кортежей из декартова произведения M*M.

Пример

Определим отношение с именем МЕНЬШЕ на множестве целых чисел M= {1, 2, 3}. Декартово произведение M*M представляет собой множество кортежей <1,1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>.

Отношению МЕНЬШЕ принадлежат те кортежи декартова произведения, у которых первый элемент меньше второго.

МЕНЬШЕ={ <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>}.

Пример

Пусть множество M1 содержит имена детей одной семьи.

M1 = {Таня, Галя, Сережа}

Тогда отношение с именем БРАТ состоит из двух кортежей: <Сережа, Таня>, <Сережа, Галя>, а отношение СЕСТРА состоит из четырех кортежей: <Таня, Галя>, <Таня, Сережа>, <Галя, Таня>, <Галя, Сережа>.

Отношения, заданные на одном или двух множествах являются бинарными. Кортежи таких отношений содержат по два элемента.

Возможны n-местные или n-арные отношения, задаваемые более чем на двух множествах и содержащие кортежи длиной n.

Состояние реляционной БД можно описать как совокупность некоторых множеств М1, М2, ….., Мi, ….., Мn, на которых задан ряд отношений. Каждое отношение представляет собой подмножество кортежей из декартовых произведений определенных множеств. Множества, на которых задано конкретное отношение, называются несущими множествами для данного отношения.

Каждое множество образовано элементами одного типа. Это может быть, например, множество целых чисел (в нашем примере это множество М), множество имен (множество М1), множество названий городов, множество календарных дат и т.п. Следовательно, можно говорить о сортах или типах множеств. Каждый элемент каждого множества имеет имя. Это имя представляет собой константу. Поскольку множество не может содержать одинаковых элементов, то имя каждого элемента множества должно быть уникальным.

Основные понятия реляционной модели данных

При рассмотрении реляционной модели, основанной на понятии отношения (relation), оперирует терминами, пришедшими из математики.

Каждая таблица реляционной модели данных представляет собой отношение.Имя отношения - это имя таблицы. В отношении хранятся данные, описывающие экземпляры объекта определенного типа. На уровне хранения каждая таблица хранится в файледанных.

Совокупность имен отношений, используемых для описания модели данных, называется сигнатурой БД.

Столбцы таблицы являются атрибутами отношения. Атрибуты представляют собой свойства объекта данного типа. Каждый атрибут имеет имя соответствующего свойства. Количество атрибутов отношения (столбцов в таблице) определяет его местность или арность. На уровне хранения атрибут представляется полем записи соответствующего типа.

Кортеж отношения - это множество значений, содержащихся в строке таблицы. Каждый кортеж соответствует экземпляру объекта данного типа. На уровне хранения кортеж – это экземпляр записи определенного типа.

Таким образом, отношение - это совокупность кортежей, т.е. таблица со всеми своими строками.

Множество значений, которые может принимать атрибут в отношении, называется доменом. Другими словами, домен - это множество всех значений, которые могут присутствовать в данном столбце таблицы. Совокупность всех доменов определяет состояние БД.

Рассмотренная выше реляционная модель данных содержит три базовых отношения. Отношение СТУДЕНТ – имеет арность 4 и содержит 4 кортежа, отношение ПРЕПОДАВАТЕЛЬ – бинарное и содержит 3 кортежа, отношение ПРЕДМЕТ – тернарное и содержит 3 кортежа. Связующее отношение СТУДЕНТ_ПРЕПОДАВАТЕЛЬ – бинарное.

Каждый из атрибутов трех базовых отношений модели задан на определенном домене. Это множество номеров зачетных книжек, множество фамилий студентов, множество номеров групп, множество наименований предметов и т.д., следовательно, число доменов равно числу атрибутов базовых отношений.

В общем случае на одном и том же домене могут быть заданы несколько атрибутов отношений. Так, например, на домене названий городов могут быть заданы следующие атрибуты: место рождения студента, место проживания во время обучения, место работы.