Свободные колебания маятников

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Свободные колебания маятников

Свободными называются колебания, происходящие в системе в отсутствии внешних сил. Два маятника, связан-ные упругой связью и обладающие двумя степенями свобо-ды, представляют собой колебательную систему, в которой может происходить перераспределение энергии. Число сте-пеней свободы – это минимальное число независимых ко-ординат, с помощью которых можно полностью описать состояние системы. В данной работе такая система реали-зована (рис. 4.1.а,б) в виде двух маятников 13, 14 с регу-лируемыми параметрами (длина, вес груза), связанных с по-мощью двух одинаковых пружин 17 и C-образной обоймы 11, закрепленной на стержне второго (более удаленного от наблюдателя) маятника 6. Пружины соединяют оконечные участки обоймы 11 со стержнем первого (более близкого к наблюдателю) маятника 12. Углы отклонения обоих маят-ников от положения равновесия будем считать положи-тельными при смещении маятников против движе ния часо-вой стрелки.

Каждый маятник участвует в периодическом вращатель-ном движении, которое может быть описано уравнением движения вращающегося тела (второй закон Ньютона):

, (4.1)

где – суммарный момент сил;

– момент инерции маятника;

– угловое ускорение;

– угловое смещение;

– текущее время.

Учитывая схему опыта (рис. 4.2), запишем уравнения движения в скалярном виде:

Учтем, что при малых углах и ; и . Момент силы натяжения нити равен нулю.

Тогда сила упругости равна

.

Заметим, что ошибки здесь нет, т.к. второй маятник от-клонен в противоположную сторону, .

Тогда взаимосвязь между моментами сил, действующими на первый и второй маятники, описывается следующими со-отношениями:

(4.2)

где ; ; ;

, – массы грузов первого и второго маятников соот-ветственно (13, 14);

, – расстояния от оси вращения до центров масс пер-вого и второго грузов;

– ускорение свободного падения тел;

– коэффициент жесткости одной из двух одинаковых пружин (17);

– расстояние от оси вращения до точки крепления пружин на стержне первого (12) маятника (А). На таком же расстоянии от оси должна быть укреплена обойма на стерж-не второго (6) маятника (В); , , – определяются массой и геометрией каждого маятника.

Уравнения движения маятников, учитывая соотношение (4.1), имеют следующий вид:

(4.3)

Решение системы уравнений (4.3) существенно упро-щается, если ограничиться следующими условиями прове-дения опытов:

; .

При этом

; .

С учетом принятых обозначений, складывая и вычитая уравнения системы (4.3), получаем:

(4.4)

Каждое из уравнений (4.4) описывает гармонические ко-лебания с частотами , .

Решения уравнений (4.4) имеют вид:

(4.5)

где , , , – постоянные коэффициенты, определяе-мые из начальных условий. Меньшую из частот , на-зывают основной. Именно с такой частотой будет колебать-ся каждый из маятников при отсутствии связи между ними. Величины частот и соответствующих им периодов коле-баний , рассчитываются по следующим формулам:

; . (4.6)

Рассмотрим три основных случая колебаний: синфазные (первая мода), когда в начальный период оба маятника от-клонены на одинаковый угол относительно положения равновесия; встречные колебания (вторая мода), когда в ис-ходном положении оба маятника отклонены от положения равновесия на одинаковые углы ( ), но в разные стороны; и биения, когда начальное смещение одного из маятников равно нулю, а величины собственных частот маятников име-ют близкие значения, т.е.

.

При синфазных колебаниях начальные условия при имеют следующий вид:

(4.7)

Подставляя (4.7) в формулу (4.5) и решая систему урав-нений, находим:

; ;

; .

Таким образом, влияние связи при данном виде колеба-ний исчезает и длительности периодов колебаний маятни-ков имеют одинаковую величину и приближаются, в преде-лах точности эксперимента, к длительности периода мате-матического маятника такой же длины:

. (4.8)

Встречные колебания характеризуются следующими на-чальными условиями (при ):

,

. (4.9)

Подставляя (4.9) в (4.5), находим:

; .

Наличие связи между маятниками в этом случае уже су-щественно, как следует из анализа соотношения (4.6) для . Таким образом, каждый из маятников совершает гармо-нические колебания, период которых равен:

. (4.10)

Биения возникают при следующих начальных условиях:

;

. (4.11)

В этом случае решение системы уравнений (4.5) имеет вид:

; ;

(4.12)

Введем следующие обозначения:

– средняя частота колебаний маятника;

– частота "модуляции".

Тогда соотношения (4.12) принимают следующий вид:

(4.13)

Из анализа соотношений (4.13) следует, что они пред-ставляют собой гармонические колебания с частотой, ам-плитуда и фаза которых не остаются постоянными через про-межутки времени, равные произвольному целому числу пе-риодов. Колебания подобного типа широко используются в электросвязи, где их называют модулированными. Модуля-ция – это изменение параметров колебаний с частотами, зна-чительно меньшими частоты самих колебаний ( ). В зависимости от вида основного измеряемого параметра раз-личают амплитудную, частотную и фазовую модуляции. В рассматриваемом случае имеют место амплитудно-модули-рованные колебания, что представляется более нагляд-ным при следующей форме записи соотношений (4.13):

(4.14)

где

(4.15)

При соблюдении условия

амплитуды колебаний и относительно медленно изменяются в течение нескольких колебаний с частотой , т.е. уравнения (4.14) соответствуют почти гармоническим колебаниям. При этом каждый из маятников совершает колебания с периодом

(4.16)

а амплитудные значения колебаний изменяются в пределах от до , причем фазы изменений амплитуд, как показано на рис. 4.3, отличаются на .

Так как энергия гармонических колебаний пропорцио-нальна квадрату амплитуды, то, как показано на рис. 4.3, происходит периодическая передача энергии от одного маят-ника к другому. Длительность одного цикла передачи энер-гии от одного маятника к другому и обратно называется пе-риодом биений ( ).

Найдем зависимости, определяющие энергию каждого из маятников, полагая амплитуды и практически постоянными в течение одного цикла колебаний с частотой . С учетом данного упрощения, основанного на пренебре-жении энергией, передаваемой пружиной маятнику за один период колебаний, значения кинетических энергий маят-ников имеют следующий вид:

. (4.17)

, (4.17')

где и описываются соотношениями (4.14), а зна-чения и полагаются практически постоянными ве-личинами, т.е.

(4.18)

Потенциальная энергия каждого из маятников определя-ется следующими соотношениями:

(4.19)

Полная энергия каждого из маятников равна соответст-венно:

(4.20)

Cложив соотношения (4.20), получим выражение для полной энергии двух маятников:

. (4.21)

Разность энергий двух маятников с учетом соотношения

равна

(4.22)

Система уравнений (4.21) и (4.22) позволяет представить соотношение для полной энергии каждого из маятников в следующем виде:

(4.23)

Из анализа соотношений (4.21) и (4.23) следует, что пол-ная энергия системы остается с течением времени постоян-ной. Вместе с тем, имеет место передача энергии от одного маятника к другому с частотой биений, равной

(4.24)

Соотношение (4.24) можно записать в следующем виде:

,

следовательно,

. (4.25)

При прочих начальных условиях движение маятников опи-сывается сложными формулами, вид которых существенно зависит от условий связи маятников.