Скорость волн в упругой среде

5.6.1 Скорость волны в струне

Рассмотрим волну, распространяющуюся в натянутой струне в произвольном направлении. Выделим в струне точку с координатами (x,y,z), находящуюся в равновесии (рис. 5.7). Тогда смещение этой точки от положения равновесия при прохождении волны опишется уравне-нием:

. (5.83)

Здесь – проекция смещения на ось X;

– проекция смещения на ось Y;

– проекция смещения на ось Z;

– орты осей соответственно.

Натянем струну вдоль оси X. В этом случае волна бу-дет распространяться по оси X. Проекции вектора смеще-ния на координатные оси и будут описывать попе-речные смещения точек струны от положения равновесия, а – продольные смещения.

При таком виде поляризации частицы имеют смещение относительно положения равновесия только вдоль оси Y, т.е. и .

В этом случае смещение точки, имеющей положение равновесия x опишется уравнением:

, (5.84)

а в скалярном виде

. (5.85)

Найдем уравнение, описывающее колебания струны, исходя из основного уравнения динамики. Рассмотрим небольшой участок струны длиной dx, начинающийся в точке 1 с координатой x и оканчивающийся в точке 2 с координатой x+dx (рис. 5.9). Участок dx выберем на-столько малым, чтобы силы растяжения T₁ и T₂, прило-женные к различным концам этого участка, были равны:

. (5.86)

Точка 1 имеет смещение от положения равновесия вдоль оси Y, точка 2 имеет смещение . Рассматрива-емый участок имеет массу:

, (5.87)

где – плотность материала струны,

S – площадь поперечного сечения струны.

Перейдя к линейной плотности струны, т.е. к массе единицы длины струны:

, (5.88)

получим

. (5.89)

Для того, чтобы найти возвращающую силу, необходи-мо определить проекции на ось Y сил натяжения, дей-ствующих на рассматриваемый участок струны с обеих сторон. Проекция силы T₀ в точке 1 на ось Y можно рассчитать как:

. (5.90)

При малых отклонениях

, (5.91)

т.е. относительной деформации струны в точке 1 (5.54). Тог-да искомая проекция будет равна:

. (5.92)

Проекция силы натяжения, действующей на участок струны со стороны точки 2, находится как:

. (5.93)

Угол найдем при помощи разложения в ряд Тейлора (пренебрегая производными высших порядков):

, (5.94)

и получим выражение для проекции:

, (5.95)

Поскольку с учетом (5.91) угол может быть найден как:

, (5.96)

то и соответствующая проекция T_2x может быть записана
следующим выражением:

. (5.97)

Тогда суммарная возвращающая сила определится как:

. (5.98)

Запишем второй закон Ньютона для участка струны:

, (5.99)

а с учетом (5.89) и (5.98) предыдущее выражение может быть записано как:

. (5.100)

Освобождая производную по времени от множителей и проведя сокращение, получим уравнение:

, (5.101)

которое является волновым уравнением вида (5.60). Та-ким образом, возмущение распространяется в струне в виде волны со скоростью:

. (5.102)

Решением дифференциального уравнения (5.101) явля-ется хорошо знакомая функция вида (5.63). Но это не единственное решение. Как будет показано далее, урав-нению (5.101) удовлетворяет также решение, описыва-ющее стоячую волну.

5.6.2 Скорость волны в тонком стержне и жидкости

Рассмотрим тонкий стержень, т.е. такой стержень, тол-щина которого мала по сравнению с длиной волны . Плотность ρ материала и площадь S поперечного сечения стержня возьмем постоянными по всей дляне стержня. Расположим вдоль стержня ось X, и выделим в стержне небольшой участок длиной Δx и массой Δm (рис. 5.10). Элемент стержня должен быть настолько малым, что-бы проекция ускорения на ось могла считаться одина-ковой для всех точек и равной .

Пусть вдоль оси X распространяется плоская бегущая волна. Как было показано выше, при прохождении волны левый торец выделенного участка смещается на величину , а правый торец – на (рис. 5.11). При этом на правый левый торец действует растягивающая сила , а на левый торец – сила .

Выделенный участок стержня при прохождении волны получает ускорение:

(5.103)

Запишем второй закон Ньютона для выделенного учас-тка стержня в проекции на ось X:

. (5.104)

Масса выделенного участка стержня определяется как:

, (5.105)

где – плотность материала стержня;

– длина выделенного участка;

– площадь поперечного сечения стержня.

Подставим выражение для массы (5.105) в (5.104):

. (5.106)

Сила, приложенная нормально к боковым поверхнос-тям выделенного участка, создает нормальное напряже-ние , равное:

, (5.107)

где E – модуль Юнга;

– относительная деформация, равная, согласно (5.54):

(5.108)

С учетом этого, выражение (5.106) перепишем в виде:

, (5.109)

где и – относительная деформация правого и ле-вого торца выделенного участка стержня соответственно. Найдем выражения для и .

Относительная деформация в левом сечении с большой точностью может быть представлена как:

, (5.110)

а в правом сечении как:

. (5.111)

Подставляя полученные выражения (5.110) и (5.111) в уравнение (5.109), и сокращая на площадь поперечного сечения S, получим:

. (5.112)

Раскрывая скобки и производя вычитания, получаем:

. (5.113)

При распространении волн в упругой среде в основонм происходят упругие деформации, при которых относи-тельное удлинение . Соответственно, , что позволяет нам пренебречь слагаемым . Таким обра-зом, после сокращений получаем

, (5.114)

или

(5.115)

Таким образом, мы получили волновое уравнение вида (5.61). Видно, что скорость распространения упругих продольных волн в твердой среде:

(5.116)

Решением уравнения (5.116) будет:

(5.117)

при .

Аналогичным образом вычисляется скорость распрос-транения поперечных волн:

, (5.118)

где G – модуль сдвига

В случае продольных волн в упругих средах под ско-ростью распространения волн подразумевается её зна-чение (5.116), а в случае поперечных волн – её значение (5.118).

В формуле под скоростью подразумевается со-ответствующая скорость распространения либо продоль-ных, либо поперечных волн.

В дальнейшем мы при рассмотрении скорости рас-пространения волны мы индексы будем опускать.

Для вычисления скорости звука в жидкостях удобно пользоваться величиной, обратной модулю Юнга –коэф-фициентом сжатия . Тогда выражение для скорос-ти звука в жидкости примет вид

(5.119)

5.6.3 Скорость волны в газе

В жидкостях и газах распространяются только про-дольные волны. Мысленно вырезав канал длиной dx в на-правлении распространения плоской волны, и повторив все рассуждения, мы придем к выражению, аналогичному (5.116):

, (5.120)

где K – коэффициент, аналогичный модулю Юнга E. Най-дем выражение, позволяющее определить коэффициент K.

При распространении продольных волн в среде возни-кают сжатия и растяжения отдельных слоев (рис. 5.12).

Пусть возмущение дошло только до левого торца на-шего цилиндра. При этом происходит уменьшение длины цилиндра, и, соответственно, увеличение давления dp в цилиндре. При небольших возмущениях связь избыточ-ного давления dp с относительным изменением длины цилиндрического канала примет вид:

(5.121)

В полученном выражении (5.121) знак минус связан с тем, что приращение давления dp и длины противопо-ложны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения S, получим:

, (5.122)

где – относительное приращение объема рассматри-ваемого цилиндрического элемента среды. Таким образом, мы получили выражение для аналога модуля Юнга K:

(5.123)

Объем рассматриваемого элемента и его плотность меняются при прохождении волны, но их произведение (то есть масса) остается постоянным . Отсюда

, (5.124)

значит, изменение объема

(5.125)

Подставив (5.125) в (5.123), получим:

, (5.126)

и, учетом этого формула (5.116) примет вид:

(5.127)

Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах. При распространении звука в газе сжатия и разре-жения следуют друг за другом так часто, что соседние участки среды не успевают обмениваться теплотой. Поэ-тому процесс изменения объема цилиндрического участка можно считать адиабатическим. При адиабатическом про-цессе в газе связь между давлением и объемом опреде-ляется уравнением:

, (5.128)

где – постоянная адиабаты, равная отношению тепло-емкостей газа при постоянном давлении и объеме:

(5.129)

Постоянная адиабаты – величина, характерная для каждо-го газа. На основе уравнения (5.128) найдем подкоренное выражение (5.127). Продифференцируем (5.128):

. (5.130)

Разделим переменные:

, (5.131)

откуда

, (5.132)

. (5.133)

Из (5.125) получим:

. (5.134)

Подставляя (5.133) и (5.134) в (5.127), получаем следу-ющее уравнение для расчета скорости звука в газе:

(5.135)

Однако эта формула неудобна для расчета. При атмос-ферном давлении и нормальной температуре газ может считаться идеальным газом, то есть таким газом, для ко-торого можно пренебречь взаимодействием между моле-кулами. Давление идеального газа можно определить из соотношения:

, (5.136)

где – масса газа;

– его молярная масса;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура газа.

Плотность идеального газа определим как:

(5.137)

Подставив (5.136) и (5.137) в (5.135), получим уравне-ние для скорости звука в газе:

, (5.138)

которое дает рассчетные данные, хорошо согласующиеся с экспериментальными.