Уравнение плоской монохроматической волны

Волну, имеющую постоянную частоту, называют монохроматической. Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение точки, как функцию её координат x, y, z и времени.

(1)

Функция (1) должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, y, z. Периодичность по t следует из того, что f описывает колебания точки с координатами x, y, z. Периодичность по координатам вытекает из того, что точки отстающие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции f в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпала с направлением распространения волны.

Пусть колебания точек в плоскости x = 0 имеют вид:

Найдём вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для прохождения пути от х = 0 до этой плоскости волне требуется время: , где υ – скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0:

(2)

Величина f представляет собой смещение любой из точек с координатой х в момент времени t. При выводе формулы (2) предполагалось, что амплитуда колебаний во всех точках одна и та же. В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой.

Запишем какое-либо значение фазы:

(3)

Отсюда найдём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцируем (3):

. (4)

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы. Поэтому её называют фазовой скоростью.

Из (4) следует, что волна распространяется в направлении возрастания Х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

, .

Волна распространяется в сторону убывания Х. Введём величину, называемую волновым числом: . Можно получить: .

Тогда уравнение (2) перепишем: .

Если волна распространяется в сторону убывания Х: .

Рассмотрим случай распространения плоской волны в произвольном направлении:

, (5)

где: – волновой вектор.

Оказывается, что уравнение любой волны есть решение дифференциального уравнения, называемого волновым. Продифференцируем (5) по каждой из переменных x, y, z, t:

; (6)

(7)

Сложим три последних уравнения (7):

; (8)

Разделив уравнение (8) на (6):

Получаем: – волновое уравнение.