Общие сведения о случайных процессах

Случайная функция, зарегистрированная в той или иной форме по результатам опыта, называется реализацией случайной функции. Случайная функция x, для которой независимой переменной является время t, называется случайным или стохастическим процессом. Этот процесс можно отобразить в виде реализаций случайной функции (рис.9.2).

Случайный процесс не есть определенная кривая x(t), а является множеством кривых x(t), так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений.

Можно сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Рис. 9.2. Реализации случайного процесса

В случайном процессе нет определенной зависимости x(t). Каждая кривая множества (рис.9.2) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс.

Чтобы судить о возможном характере протекания случайного процесса, введены вероятностные характеристики, основной из которых является закон распределения.

Закон распределения для непрерывных случайных функций задается в виде плотности вероятности w(x), называемой дифференциальным законом распределения (рис.9.3).

Рис. 9.3. Дифференциальный закон распределения

Выражение w(x)dx означает вероятность того, что случайная величина содержится между x и x+dx:

. (9.1)

Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями x₁ и x₂, определяется формулой

, (9.2)

что геометрически выражается заштрихованной площадью на рис.9.3.

Вся площадь под кривой w(x) равна единице:

. (9.3)

Случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Если закон распределения w(x,t) не зависит от времени, то такой случайный процесс называется стационарным, в противном случае - нестационарным. В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т.е. w(x,t)=w(x).

Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, на практике используются более простые усредненные статистические характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.

Статистический метод изучает не отдельную реализацию случайного процесса, а свойство всего множества в целом путем их усреднения. При этом используются следующие статистические характеристики.

Среднее по множеству значение случайной величины (математи-ческое ожидание)

. (9.4)

Среднее по множеству значение квадрата случайной величины

. (9.5)

Дисперсия

, (9.6)

где - среднеквадратичное отклонение.

Для стационарных случайных процессов эти характеристики не зависят от времени t, в отличие от нестационарных случайных процессов.

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия или среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой.

Кроме средних по множеству значений случайной величины определяют средние по времени значения для отдельной реализации случайного процесса.

Среднее значение по времени случайной величины x определяется на интервале времени T (рис.9.4)

. (9.7)

Рис. 9.4. Реализации случайного процесса

Среднее значение по времени квадрата случайной функции x

. (9.8)

Дисперсия

, (9.9)

где - среднеквадратичное отклонение.

Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодической гипотезы, в соответствии с которой для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице, всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности

(9.10)

и т.д.

Эргодическая гипотеза позволяет значительно упростить все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения статистических характеристик, вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой x(t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.

Корреляционная функция. Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции x(t) и x(t₁), взятых в моменты времени t и t₁, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Корреляционная функция является универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t₁) от предыдущего значения x(t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

В случае стационарного случайного процесса (рис.9.5) корреляционная функция R(t) представляет собой среднее во времени значение за промежуток времени T®¥ от произведения случайных величин x(t) и x(t+t), взятых в случайном процессе в любые два момента времени, отличающихся друг от друга на определенный промежуток времени t

. (9.11)

Рис. 9.5. Реализации случайного процесса

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины x в последующий момент времени t+t от предыдущего значения в момент t. Корреляционная функция имеет вид, представленный на рис.9.6. Чем менее инерционен объект наблюдения, тем быстрее убывает R(t) с увеличением t. Она постоянна для всех случайных процессов, подчиненных одинаковому закону распределения.

Рис. 9.6. Корреляционная функция случайного процесса

Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса [1].

Корреляционная функция является четной функцией, т.е. R(t)=R(-t).

При t=0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

. (9.12)

При t®¥ имеем

R(¥) = (9.13)

Корреляционная функция суммы двух стационарных случайных процессов z(t)=x(t)+y(t) определяется как

, (9.14)

где , - взаимные корреляционные функции.

Они характеризуют взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени t. При t=0 будет = .

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех t справедливы равенства =0 и =0 .

Спектральная плотность стационарного случайного процесса.

Представляет собой прямое преобразование Фурье от корреляционной функции

. (9.15)

Чтобы определить корреляционную функцию R_x(t) по известной спектральной плотности S_x(w) используется обратное преобразование Фурье

. (9.16)

Для t=0 имеем

. 9.17)

Последнее выражение представляет собой важное свойство спектральной плотности, заключающееся в том, что интегрирование ее по всем частотам от -¥ до +¥ дает средний квадрат исходной функции времени x(t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от w до w+dw.

Рис. 9.7. Взаимосвязь между случайной функцией и ее характеристиками

Аналогично взаимным корреляционным функциям введено понятие взаимных спектральных плотностей:

; (9.18)

. (9.19)

Связь между случайной функцией, ее корреляционной функцией и спектральной плотностью приведена на рис.9.7.