Мікроканонічний розподіл. Функція розподілу ізольованої термодинамічної системи.

Гіббса розподіл мікроканонічний
Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики:

Всі доступні мікростани системи рівноймовірні.

Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами).

Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану.

Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки.
Статистична сума

як і в термодинаміці, має зміст відносної ймовірність знаходження системи в певному микростанів. І, дивлячись на співвідношення Больцмана , легко зрозуміти, що станом з мінімальною ентропією відповідає мінімальна статистична вага. Потрібно врахувати, що в системі постійні число частинок

і повна енергія

Факторіал великих чисел (а числа і великі; тими з них, які малі, можна знехтувати) находится за формулою Стірлінга: , де . Цю точну формулу можна замінити наближеною

так як відносна помилка в обчисленнях за цією формулою не перевершує , вже при вона менше одного відсотока. Із співвідношень (0), (1) і (3) випливає наступне:

Чисельник тут є функція від , і можна ввести позначення

що дає

Тоді з формули Больцмана слідує

Тут можна знехтувати 0,5 порівняно з . Тоді

Максимум ентропії (5) із урахуванням співвідношеньий (1) і (2), використовуючи метод невизначених множників, буде при умовах

Отсюда , де и — множники Лагранжа, не залежні від змінних . У системі є змінні і три рівняння - отже, будь-які дві залежать від інших; відповідно можна вважати залежними та і вибрати множники Лагранжа так, щоб коефіцієнти при и звернулися в 0. Тоді при інших змінні , , … можна прийняти за незалежні, і при них коефіцієнти також будуть рівні 0. Так отримано

звідси де — нова константа.

Для визначення сталої можна скласти систему в теплопровідні стінки і квазістатично змінювати її температуру. Зміна енергії газ а одно , а змінаентропії (зі співвідношення (5)) дорівнює . Так як , то звідси , і тому

Термостат

Отримано найбільш ймовірне розподіл системи. Для довільної макроскопічної системи (системи в термостаті), оточеній протяжної середовищем (термостатом), температура якої підтримується постійною, виконується співвідношення (6) - розподіл Гіббса: їм визначається відносна ймовірність того, що система при термодинамічній рівновазі знаходиться в -ом квантовом состоянии.