Скалярное и векторное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами.

Спроектируем вектор на Получим , тогда = аналогично

Значит, , т.е скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию второго вектора на первый.

Пример .

Скалярное произведение одноименных орт равно 1, разноименных равно 0.

Основные свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство:

2. Распределительное свойство:

3. Сочетательное свойство относительно числового множителя:

4. Скалярное произведение обращается нуль в том и только том случае, когда векторы перпендикулярны:

5. Так как модуль вектора, число неотрицательное, то знак скалярного произведения определяется знаком cos :

а) если - острый угол, то и

б) если - тупой угол, то и

Умножение векторов в координатах.

Даны векторы:

Найдём: ( )( )=

Приложения скалярного произведения

1. Длина вектора. Найти

2. Расстояние между точками. ,

3. Угол между векторами.

4. Проекция одного вектора на другой.

Найти

=

5. Условие перпендикулярности векторов.

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется такой третий вектор , модуль которого численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , перпендикулярный плоскости, определяемой векторами и , и направленный в такую сторону, что кратчайший поворот от к вокруг вектора представляется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора

1.

2.

3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору вокруг вектора происходит против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора .

Свойства векторного произведения.

1.

2. (сочетательный закон)

3. ( (распределительный закон)

4. ║

Векторное умножение векторов в координатах.

§3.6 Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов на вектор , т.е

Смешанное произведение трех векторов по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение равно нулю если:

- хоть один из перемножаемых векторов равен нулю.

- два из перемножаемых векторов коллинеарны.

- три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность)

2. Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения.

3. Смешанное произведение не изменится, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке.

4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие уравнение плоскости