Передаточная функция. Дифференциальное уравнение звена (системы) в общем виде можно представить в виде:

Дифференциальное уравнение звена (системы) в общем виде можно представить в виде:

. (7.2)

После перевода уравнения (7.2) к переменным в отклонениях и его линеаризации, уравнение принимает вид (8.3):

+ + + … + +

+ + + … = 0, (7.3)

где обозначает, что для частной производной вычислено ее значение в точке С(х₀, у₀).

Возвращаясь к структурной схеме модели звена типа «вход – выход», изменим ее с учетом появившихся обозначений:

В теории систем автоматического управления приняты определенные формы записи дифференциальных уравнений, придающие их коэффициентам определенный физический смысл. Рассмотрим это на примере уравнения (7.3), считая его второго порядка. Осуществим следующие действия:

1) выходную переменную Dу оставим в левой части, а входную переменную Dх перенесем в правую часть уравнения:

+ + =

+ + ; (7.4)

2) разделим обе части уравнения на коэффициент перед приращением выходной величины Dу:

Dу + + =

= Dх + +

+ ; (7.5)

3) обозначим полученные коэффициенты перед переменными символами, отражающими их физический смысл и размерность:

. (7.6)

Для лучшего понимания рассмотрим, как были получены коэффициенты k и Т₂, их размерность и общепринятые названия:

= = [c²] (7.8)

– постоянная времени. (7.9)

Перепишем (7.6) в развернутом виде:

. (7.10)

Введем оператор дифференцирования , который действует на сигнал по правилу . Здесь важно, что запись обозначает не умножение оператора на сигнал, а действие этого оператора, то есть дифференцирование .

(7.11)

или . (7.12)

Используемые в данном уравнении коэффициенты приводят все слагаемые уравнения к одной размерности – размерности выходной переменной.

Замечание: в дальнейшем будем рассматривать дифференциальные уравнения только в отклонениях. Поэтому, для сокращения записи символ «D» использовать не будем.

С учетом данного замечания перепишем уравнение (7.12):

, (7.13)

В компактной форме: Q(p)y(t) = R(p)x(t), y(t) = . (7.14)

Полученное выражение является символической записью уравнения (7.4), которой удобно пользоваться. И запись (7.14) означает не умножение, а действие сложного оператора на сигнал .

Функция обозначается и называется передаточной функцией. Она полностью описывает связи между входом и выходом объекта при нулевых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.