Зведення сил та мас

При дослідженні руху механізму зручно замінити усі сили та моменти, звівши їх до однієї ланки, еквівалентною з точки зору динаміки, силою чи моментом сил. При цьому необхідно, щоб елементарна робота на розглядуваному можливому переміщенні, або потужність, що розвивається замінюючою силою чи моментом, була рівна, відповідно, сумі елементарних робіт або потужностей, що розвивають сили та моменти, які прикладені до ланок механізму на цьому ж переміщенні.

Сили чи моменти, що задовольняють цій умові, називають зведеними силами та моментами. Ланка, до якої зводяться сили та моменти (маси), називається ланкою зведення, а точка прикладання зведенної сили – точкою зведення. Зазвичай за ланку зведення приймають ту ланку, за узагальненою координатою якої проводяться дослідження механізму. Частіше це початкова ланка, головний вал робочої машини або вихідний вал машини-двигуна.

Для визначення зведеної сили чи моменту може бути використана рівність

, (4.1)

де - потужність, що розвиває зведена сила чи зведений момент; -сумарна потужність усіх сил та моментів, що підлягають зведенню.

Потужність може бути представлена як

, або , (4.2)

де – зведений момент; - кутова швидкість ланки зведення; – величина зведеної до точки В сили; - швидкість точки зведення (рис. 4.1, в).

Права частина рівності (4.1) в розгорнутому вигляді може бути представлена так

, (4.3)

де – сила і момент, які прикладені до і-ої ланки; – швидкість точки прикладання сили ; – кут, утворений силою та вектором швидкості ; – кутова швидкість і-ої ланки.

З рівнянь (4.2) та (4.3) отримуємо

, (4.4)

. (4.5)

Зустрічається таке визначення: зведеним моментом (силою) називають момент (силу), що умовно прикладений до ланки зведення, миттєва потужність якого дорівнює сумі миттєвих потужностей усіх сил і моментів, що діють на ланки механізму.

Наголосимо, що при заданих силах та моментах визначення зведеного моменту чи зведеної сили не являє значних труднощів і може бути легко проведене, наприклад, якщо для кожного досліджуваного положення механізму буде побудований план швидкостей.

Зазначимо, що деколи окремо зводять рушійні сили, сили опору, сили ваги і т.ін. Формули (4.4), (4.5) залишаються справедливими в усіх випадках, потрібно лише вказати, які сили зводяться.

Зведення мас. Заміна мас рухомих ланок механізму зведеною масою, зосередженою в довільно вибраній точці ланки зведення, або зведеним моментом інерції виконується на основі еквівалентності миттєвих значень кінетичних енергій моделі Т_мод та всього механізму Т_мех

Т_мод=Т_мех.

Кінетична енергія плоского механізму для будь-якого його положення дорівнює сумі кінетичних енергій усіх його рухомих ланок Т_і і в загальному випадку може бути представлена у вигляді

Т_мех=

де – момент інерції і-ої ланки відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху; – кутова швидкість і-ої ланки; – маса і-ої ланки; – швидкість центру мас і-ої ланки.

Вирази кінетичної енергії Т_мод для ланки зведення, або точки зведення:

Т_мод= , або Т_мод= . (4.6)

У відповідності з умовою динамічної еквівалентності механізму та моделі отримаємо

,

або звідки

(4.7)

(4.8)

Зустрічаються такі визначення: - зведеним моментом інерції називається такий умовний момент інерції, кінетична енергія якого у кожному розглядуваному положенні механізму дорівнює сумі кінетичних енергій всіх його ланок;

- зведена маса являє собою таку умовну масу, зосереджену в деякій точці зведення, кінетична енергія якої в кожному розглядуваному положенні механізму дорівнює сумі кінетичних енергій всіх його ланок.

Зведені сила та маса згідно рівнянь (4.4)-(4.8) залежать від співвідношень, відповідно, швидкостей ланок механізму до швидкості ланки зведення та квадратів цих відношень. Ці співвідношення, в загальному випадку, залежать тільки від положення механізму, але вони будуть однаковими при будь-якому законі руху механізму. Отже, зведена сила і маса, як правило, є величинами змінними, періодичними функціями, які залежать від узагальненої координати механізму.

З викладеного робимо висновок, що модель, якою замінюється механізм, є умовним тілом тому, що в загальному випадку її момент інерції (маса) є змінними, тоді як реальні фізичні тіла мають постійні моменти інерції (маси). Лише в окремих випадках, коли передатне відношення механізму є сталим (наприклад, зубчасті, фрикційні механізми, шарнірний паралелограм та інші), зведений момент інерції постійний.

Таким чином, оскільки не залежать від закону руху, зведення мас та сил можна виконувати і не знаючи законів руху механізму. Отже, розв’язуючи задачі динаміки, цілком можливо (і потрібно) спочатку побудувати динамічну модель механізму, виконавши зведення сил та мас, а потім вже знаходити закон її руху.