Методи розрахунку дерев'яних елементів музичних інструментів

Розрахунок грифа овальної мандоліни

З мензури щипкових музичних інструментів знаходимо загальний натяг усіх восьми струн:

Р_з = (9 + 8,8 + 11,0 + 10,4)×2 = 78,4 кг

З огляду на можливе збільшення натягу, приймаємо для подальшого розрахунку сумарний натяг Р_з = 80 кг.

Перетин грифа, прийнятий нами як параболічний (рис. 12), має наступні розміри: ширина грифа біля поріжка b₁ = 28 мм, біля. 10-го ладу b₂ = 37 мм, товщина грифа біля поріжка h₁ = 20 мм, біля 10-го ладу h₂ = 27 мм.

Рис. 12. Поперечний переріз грифа

З огляду на те, що наклейка на грифі має прорізи для впресовування ладових пластин із глибиною пропилу 2 мм, розрахунок варто вести на зменшену висоту перетину грифа: біля поріжка h₁ = 18 мм і біля 10-го ладу h₂ = 25 мм. Довжина грифа від поріжка до 10-го ладу l = 154 мм. Відстань від підстави до середньої лінії перетину та від площини наклейки до середньої лінії дорівнює:

l₁ = 0,6h; l₂ = 0,4h.

Площа перетину:

S = 2bh/3.

Моменти опору вигину визначають з виразів:

W₁ = І/l₁ і W₂ = І/l₂, см³

де І – момент інерції перетину, визначають за такою формулою:

І = 8bh³/175.

Підставляючи значення І і l, отримаємо:

W₁ = 8bh²/105 і W₂ = 4bh²/35.

Визначення напружень у грифі біля головки

Згинаючий момент М₁ = P×(l₂ + 0,15), де 0,15-відстань від нижнього рівня струн до площини наклейки у см:

l₁ = 0,6h = 0,6^.20 = 12 мм;

l₂ = 0,4h = 0,4^.20 = 8 мм;

М₁ = 80(0,8 + 0,15) = 76 кг^.см.

Припускаємо, що гриф згинається моментом М₁ і згинаючою силою Р.

Підставляючи знайдені значення у формули, отримуємо:

W₁ = 8bh²/105 = 8^.2,8^.1,8²/105 = 0,69 см³,

W₂ = 4bh²/35 = 4^.2,8^.1,8²/35 = 1,04 см³,

S = 2bh/3 = 2^.2,8^.1,8/3 = 3,4 см².

Розтягуючі напруження від згинаючого моменту М₁:

σ₁ = М₁/W₁ = 76/0,69 = 110 кг/см².

Стискаючі напруження від стиску силою Р = 80 кг:

σ₂ = Р/S = 80/3,4 = 23,5 кг/см².

Тоді сумарні напруження у крайнім волокні:

σ₁ = 110–23,5 = 86,5 кг/см².

Стискаючі напруження від згинаючого моменту М₁:

σ₃ = М₁/W₂ = 76/1,04 = 73 кг/см².

Сумарна напруга від стиску у крайнім волокні:

σ₂₃ = 73 + 23,5 = 96,5 кг/см².

Визначення напружень у грифі біля 10-го ладу.

Згинаючий момент M₂ = P×(l₂ + 0,35),

де: 0,35 – відстань від нижньої частини струн до площини наклейки у см.

l₁ = 0,6h = 0,6^.27 = 16,2 мм;

l₂ = 0,4h = 0,4^.27 = 10,8 мм;

М₂ = 80^.(1,08 + 0,35) = 114 кг^.см.

Тоді

W₁ = 8bh²/105 = 8^.3,7^.2,5²/105 = 1,76 см³,

W₂ = 4bh²/35 = 4^.3,7^.2,5²/35 = 2,64 см³,

S = 2bh/3 = 2^.3,7^.2,5/3 = 6,15 см².

Розтягуючі напруження від згинаючого моменту М₂:

σ₁ = М₂/W₁ = 114/1,76 = 65 кг/см².

Стискаючі напруження:

σ₁ = Р/S = 80/6,15 = 13 кг/см².

Сумарні напруження у крайньому волокні:

σ₁ = 65–13 = 52 кг/см².

Стискаючі напруження від згинаючого моменту М₂:

σ₃ = М₂/W₂ = 114/2,64 = 43 кг/см².

Сумарні напруження від стиску будуть рівними:

σ₁₁ = 52 + 43 = 95 кг/см².

Визначення прогину грифа

При визначенні прогину грифа овальної мандоліни передбачається, що ручка згинається постійним круговим моментом, тобто має місце круговий вигин.

Тоді прогин грифа визначиться за формулою:

f = Мl²/2EI,

де: М – згинаючий момент (середній); l – довжина ручки, дорівнює 154 мм; f – момент інерції; E – модуль пружності.

Середній модуль пружності для бука дорівнює 140000 кг/см².

І₁ = 8bh³/175 = 8^.2,8^.1,83/175 = 0,74 см⁴;

І₂ = 8bh³/175 = 8^.3,6^.2,53/175 = 2,5 см⁴;

І_ср = 0,5(І₁ + І₂) = 0,5×(0,74 + 2,5) = 1,62 см⁴;

М_ср = 0,5(М₁ + М₂) = 0,5×(76 + 114) = 95 кг^.см.

Підставляючи всі ці значення у формулу для визначення стріли прогину грифа, отримаємо:

f = 95^.15,4²/2^.140000^.1,62 = 0,05 см = 0,5 мм.

Стріла прогину грифа від згинаючого моменту, викликаного натягом струн, виходить порядку 0,5 мм, тобто не виходить за межі припустимого, а, отже, ніякого впливу на чистоту звучання не робить.

Розрахунок деки овальної мандоліни

Кут зламу струн на підставці дорівнює 13°, тоді тиск струн на деку складе:

P_c = Рsinα = 80sin13° = 80х0,22495 = 18 кг.

Розраховуємо тільки ту ділянку деки, що знаходиться під підставкою. Підставка розташовується між першою пружиною і клецом на відстані 15 мм від пружини та 120 ммвід клеца. Розраховуємо деку як балку, що вільно лежить на двох опорах (рис. 13), де a = 120 мм, b = 15 мм, l = 135 мм:

M = Pab/l = 18^.12^.1,5/13,5 = 24 кг^.см.

Перетин балки прямокутний, тому момент інерції І = bh²/12, момент опору W= bh²/6, а допустимі напруження σ_доп = М_max/W, звідки:

М_max = W^.σ_доп.

Підставляючи значення W у цю формулу, отримаємо М_max = σ_допbh²/6 = 24 кг^.см, звідки:

h = 24^.6/bσ_доп,

де: h – товщина деки у см; b – довжина підставки, дорівнює 12,5 см; σ_доп – допустиме напруження для ялини, дорівнює 300 кг/см².

Рис. 13. Дія сил на деку

Підставляючи всі ці дані в отриманий вираз, отримаємо:

см = 2 мм.

Таким чином, теоретично товщина деки повинна дорівнювати не менше 2 мм, практично ж товщина деки мандоліни коливається в межах 2…2,5 мм.