Плечо силы. Момент силы. Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Основное уравнение динамики вращательного движения

При вращении твердого тела относительно оси, скорости точек, лежащих на разных расстояниях от оси вращения, различны, в то время как угловые скорости всех его точек одинаковы. Поэтому для описания вращения твердого тела используют, в основном, угловую скорость и угловое ускорение его вращения. В подразделе (4.5) были введены понятия момента силы (4.12) и момента инерции (4.14) для материальной точки, с помощью которых был записан закон вращения (4.15). Распространим эти понятия на твердое тело, вращающееся вокруг оси (О) под действием некоторой силы. Если сила (F_д) не перпендикулярна оси вращения, то ее раскладывают на две составляющие, одна из которых параллельна оси вращения, а вторая лежит в плоскости, перпендикулярной оси (рис. 7.1).

Составляющая силы, направленная параллельно оси (Р₀), не может вызвать вращения (она стремится двигать тело вдоль оси) и в дальнейшем рассматриваться не будет. Поэтому при описании вращательного движения будем принимать во внимание только те составляющие сил, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения и на рисунках изображать только их.

Рис.7.1. Составляющие силы, действующей на вращающееся тело

Момент и плечо силы определяются точно так же, как и для вращения материальной точки (рис. 7.2).

Рис. 7.2Плечо (h) силы (F) относительно оси вращения

Плечом силы (h), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Моментом силы (М) относительно оси вращения называется произведение величины силы на ее плечо:

Момент силы берется со знаком «+», если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке и со знаком «—» в противном случае (на рис. 7.2 момент силы F равен М = —F·h).

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма моментов инерции всех его точек.

Для тел, обладающих симметрией, момент инерции находится методом интегрирования. Для примера найдем момент инерции стержня массой т и длиной l, расположенного перпендикулярно оси, проходящей через его конец (рис. 7.3).

Рис.7.3. К вычислению момента инерции стержня

Выделим элементарный участок стержня длиной dx, находящийся на расстоянии х от оси вращения. Его масса от dm = . Момент инерции выделенного участка найдем по формуле (4.14) для материальной точки:

Величина х может изменяться в пределах от 0 до l, поэтому момент инерции всего стержня равен интегралу в этих пределах:

Момент инерции используется при вычислении кинетической энергии вращающегося тела и при описании самого вращения.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси равна половине произведения его момента инерции на квадрат угловой скорости:

Уравнение, описывающее вращение твердого тела, называется основным уравнением динамики вращательного движения и фактически не отличается от уравнения (4.15) для материальной точки:

угловое ускорение (е) при вращении тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально суммарному моменту (М) действующих сил и обратно пропорционально моменту инерции тела (J) относительно оси вращения: