Как учебный предмет

1.1. Методика преподавания математики как наука

Методика преподавания математики (МПМ) рассматривает прежде всего задачи обучения младших школьников математике в общей системе их обучения и воспитания. В методике раскрывается содержание и построение начального курса математики, т.е. указывается, какой материал по математике изучается в начальных классах и почему отобран именно этот материал, на каком уровне обобщения изучается в начальных классах каждый отдельный вопрос курса, в каком порядке рассматриваются темы курса и почему этот порядок более рационален. В МПМ раскрываются частные методы изучения каждого раздела курса и каждого вопроса в этом разделе. В методике раскрываются также вопросы, как организовать учебную деятельность детей, чтобы получить наибольший эффект при обучении математике.

Названные проблемы позволяют определить методику обучения математике как науку, которая, с одной стороны, обращена к конкретному содержанию, отбору и упорядочиванию его в соответствии с поставленными целями обучения, с другой – к человеческой деятельности (учителя и ученика), к процессу усвоения этого содержания, управление которым осуществляет учитель.

Объект исследования МПМ – процесс обучения математике, в котором можно выделить содержательный (цель, содержание обучения) и процессуальный (методы, организационные формы, средства обучения, деятельность учителя и деятельность учащихся) компоненты. Эти компоненты и их элементы находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности, т.е. образуют систему, в которой изменение одного из компонентов вызывает изменения других.

Предметом исследования может являться каждый из компонентов и их элементы, а также те взаимосвязи и соотношения, которые существуют между ними.

Рассмотрим основные цели обучения математике в начальных классах.

Цели обучения можно разбить по уровням на глобальные, этапные и оперативные.

Глобальная цель задается с учетом того, какой человек нужен или какой человек может быть успешным в существующем государстве и мировом сообществе. Конкретизируя все высказывания и размышления ученых и аналитиков на этот счет, можно отметить, что в настоящее время успешным и необходимым может быть человек с четкой направленностью на самопознание, саморазвитие и самоопределение, которое идет на благо общества и себя. Эта цель четко просматривается и конкретизируется в «Концепции непрерывного образования», «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» и активно прорабатывается в системах обучения «Школа 2000…» и «Школа 2100»

Глобальная цель разносится по возрастным этапам обучения (дошкольный возраст, младший школьный возраст, подростковый возраст и т. д.)

Этапная цель определяется с учетом психологических исследований о ведущем виде деятельности в том или ином возрасте, в котором формируются основные новообразования данного возраста, определяющие развитие ребенка. В младшем школьном возрасте «ведущей» является учебная деятельность. Следовательно, задача методических дисциплин разработать такие методы средства и формы организации познавательной деятельности, чтобы они обеспечивали формирование компонентов учебной деятельности (познавательные потребности, учебная задача, учебные действия, действия контроля и действие оценки.) Иными словами, на данном этапе жизни ребенка образовательная система обязана сформировать компоненты самой ведущей деятельности и предоставить школьнику возможность и условия для развития самопознания, саморазвития и самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте

Оперативная цель предполагает реализацию глобальной и этапной цели средствами учебного предмета или, как принято говорить в настоящее время, - предметной области.

Рассматривая оперативную цель, следует подчеркнуть, что и здесь на этом уровне в последнее время произошли кардинальные изменения, в связи с изменением образовательной парадигмы. До 80-х годов прошлого столетия в определении цели математического образования речь шла в основном об обучении детей младшего школьного возраста элементам арифметики, алгебры и геометрии. В последующие годы стали говорить о новом методическом направлении – математическом развитии ребенка

В связи с этим наряду с умениями учиться и развитием рефлексии как центрального механизма, лежащего в основе изменений мышления, деятельности, коммуникации и самосознания оперативная развивающая цель предполагает развитие:

1. Интуитивного и логического мышления и соответствующего им языка.

2. Элементарных мыслительных операций (анализа, синтеза и т.д.).

3. Умений оперировать знаково-символическими средствами, выражать содержание (объекты, явления, признаки, отношения, действия, преобразования) в разных символических формах, переходить от одного языка к другому, отделять содержание от формы его представления.

4. Начал творческой деятельности (пространственного воображения, способов решения задач, форм представления информации и т. д.).

Оперативные образовательные цели обучения математике, достижение которых должно одновременно обеспечить перечисленные выше цели могут быть сформулированы следующим образом:

1. Овладение определенной системой математических понятий и общих способов деятельности по двум ведущим содержательным линиям: «Число и вычисления» и «Пространственные отношения», «Геометрические фигуры», «Измерение геометрических величин».

2. Овладение первоначальными представлениями о ведущем математическом методе познания реальной действительности – математическом моделировании.

3. Формирование обобщенного умения решать задачи.

Нужно подчеркнуть, что сама оперативная цель (развивающая и обучающая) реализуется на нескольких уровнях.

· Уровень теоретического представления математического образования (концептуальный) (выше описанные цели как раз представляют этот уровень). Они определяют основу отбора содержания математического материала адекватного им.

· Уровень учебного предмета (программный). В начальных классах это уровень определения содержательных линий: (число и вычисления, геометрические фигуры, измерение величин, уравнения) и конкретизация целей в программах.

· Уровень учебных материалов (учебника). Это конкретизация целей с учетом содержания учебных материалов и требований к подготовке учащихся, определяемых стандартом начального математического образования, что отражается в учебных материалах, учебниках по данной дисциплине.

· Уровень реального учебного процесса (урока). На этом уровне осуществляется конкретизация отдельных составляющих целей обучения и развития на отдельно взятом уроке или совокупности уроков. Цели этого уровня уже учитывают особенности класса в целом и каждого ученика в отдельности, возможности дифференциации обучения.

Описываемые выше цели реализуются посредством образовательных, воспитательных и развивающих задач.

Основная образовательная задача обучения математике в том, чтобы вооружить учеников определенной системой доступных им математических знаний, умений и навыков, которые необходимы для хорошей ориентировки в жизни, для успешного изучения других учебных предметов и, наконец, для подготовки к продолжению образования на следующей ступени обучения. Объем и уровень усвоения знаний определяются для каждого класса учебной программой. Кроме математических, формируются также общетрудовые знания, умения и навыки. К ним относятся: организационные, общепознавательные, общеречевые, контрольно-оценочные.

Решая эту задачу, школа должна вместе с тем максимально использовать обучение математике для всестороннего развития учащихся. Обучение математике должно способствовать развитию у учащихся познавательных способностей, мотивов и потребности учиться, волевых качеств, а также развитию наблюдательности, самостоятельности, творческих возможностей, эмоциональной сферы.

Воспитательная задача предусматривает формирование у учащихся представления о мире в целом, месте человека в нем и методах его познания; указывает общие ориентиры усвоения накопленного человечеством опыта; магистральные пути преобразования действительности. В процессе обучения воспитываются волевые качества: настойчивость в доведении до конца, аккуратность, самостоятельность, сообразительность, инициатива.

Школьный курс математики строится в соответствии с определенными принципами, описанными в различных образовательных системах. Наиболее общие принципы построения начального курса математики разработаны Л.М. Фридманом. Он предлагает следующую совокупность принципов:

1. Принцип целенаправленности – в курс математики включать лишь такие понятия и так их излагать, чтобы наиболее эффективно осуществлять принятые цели обучения математике в современных условиях.

2. Принцип развития – из различных способов введения и изложения включенного в курс математики фундаментального понятия следует использовать тот, который в наибольшей степени способствует умственному, научно-теоретическому развитию учащихся.

3. Принцип проблемности – изучение каждого нового понятия должно проводиться в процессе постановки и разрешения системы проблем, причем таким образом, чтобы учащиеся, оказавшись в проблемной ситуации при постановке исходной проблемы, разрешая ее, выходя из нее, попадали в следующую проблемную ситуацию.

4. Принцип методологичности – для изучения рассматриваемого понятия следует использовать такие методы, которые логически следуют из постановки проблемы и такие, которые являются основными методами научного творчества в математике, при этом методы должны не только использоваться, но быть раскрыты, поняты и усвоены учащимися.

5. Принцип развертывания – каждое фундаментальное понятие должно появляться как можно раньше, сначала в неразвернутом виде, а затем на протяжении многих лет обучения оно должно в том или ином виде снова появляться в процессе изучения математики.

6. Принцип целостности и единства – школьный курс математики должен структурироваться так, чтобы он явно выступал и был понят учащимися как единый целостный курс, в котором все основные фундаментальные понятия взаимосвязаны и взаимообусловлены.

7. Принцип адаптированности и дифференцированности – школьный курс математики по своему содержанию должен быть адаптирован к соответствующей категории учащихся и дифференцирован в соответствии с интересами и склонностями учащихся, следовательно, курс математики не должен быть одинаковым для всех школ и групп учащихся, а должен быть разным в соответствии со специализацией той или иной школы и профилем данного класса. Однако общеобразовательная основа всех этих разных курсов математики должна быть одна и та же.

В основу развивающей системы обучения Л.В. Занкова, направленной на общее развитие ребенка, положены следующие дидактические принципы:

1. Принцип обучения на высоком уровне трудности.

В соответствии с ним процесс обучения нацелен на познание сущности изучаемых явлений, связей и зависимостей между ними. Реализация этого принципа в процессе обучения математике тесно связана с целенаправленной работой по формированию у детей приемов умственных действий, т.е. с подбором специальных математических заданий, которые требуют выполнения таких мыслительных операций, как анализ через синтез, сравнение, аналогия, обобщение, классификация. При реализации данного принципа можно предлагать школьникам только такой математический материал, который может быть осмыслен ими, т.е. он должен быть связан с ранее усвоенными знаниями, умениями и навыками. В противном случае трудность окажется непреодолимой и её высокий уровень будет выступать как отрицательный фактор.

2. С принципом обучения на высоком уровне трудности связан другой принцип - обучение быстрым темпом. Он исключает однообразное повторение и «топтание на месте». Усвоенные понятия включаются в новые связи и обусловливают быстрое продвижение вперед, обеспечивая постоянную новизну в изучении материала. При обучении математике это находит отражение в варьировании заданий, в отказе от однотипных тренировочных упражнений и однообразного повторения пройденного.

3. Принципы обучения на высоком уровне трудности и быстрым темпом обусловливают еще один принцип: ведущую роль теоретических знаний в обучении. Это вовсе не исключает наглядную роль обучения, однако, большое внимание должно уделяться обобщениям, так как именно они характеризуют те изменения, которые происходят в мышлении младшего школьника. В соответствии с этим принципом формирование вычислительных умений и навыков происходит на основе осмысления понятий, отношений и зависимостей.

4. Учебный процесс строится в соответствии с принципом осознания процесса учения, т.е. таким образом, чтобы ученик уяснил основания определенного расположения материала, необходимость заучивания некоторых его элементов, источники ошибок при его усвоении. Другими словами, объектом осознания для него являются не только знания, умения и навыки, но и сам процесс их усвоения. В соответствии с этим принципом учащиеся осознают последовательность и взаимосвязь выполняемых операций и не­обходимость контролировать себя в процессе работы.

5. Особое место занимает принцип целенаправленной и систематической работы над развитием всех детей, в том числе и слабых. Он обеспечивается применением дифференцированных методик, в соответствии с которыми одни и те же вопросы содержания изучаются различными учениками с неодинаковой глубиной. Например, для сравнения выражений 3+2 ... 3+4 одни из них используют вычисления 5<7, другие делают заключение на основе сравнения слагаемых в сравниваемых суммах (первые слагаемые одинаковые; сумма, в которой второе слагаемое меньше, будет меньше).

Образовательная система «Школа 2000…» базируется на следующей совокупности дидактических принципов:

1. Принцип психологической комфортности. Снятие всех стрессообразующих факторов учебного процесса, создание на уроках спокойной, доброжелательной атмосферы, в которой ребенок чувствует себя психологически комфортно.

2. Принцип деятельности. Ребенок получает знание не в готовом виде, а добывает его сам в процессе своей собственной деятельности.

3. Принцип целостного представления о мире. Учебное содержание должно отражать научное знание и раскрывать взаимосвязь явлений окружающего мира.

4. Принцип вариативности. Развитие у детей вариативного мышления.

5. Принцип творчества. Максимальная ориентация на творческое начало в познавательной деятельности детей.

6. Принцип минимакса. Школа должна предложить содержание уроков на уровне максимума (т.е. в зоне ближайшего развития детей данного возраста) и обеспечить каждому ученику подготовку не ниже заданного программой минимума.

7. Принцип непрерывности. Отсутствие «разрывов» в процессе обучения, когда результат деятельности на предыдущем этапе обеспечивает начало следующего.

Перейдем к рассмотрению процессуального компонента математического образования.

1.2. Методы обучения математике в начальной школе

Вопрос о методах– это вопрос о том, как учить, чтобы добиться хороших результатов в обучении.

В педагогике рассматриваются различные методы, которые используются в начальных классах при обучении любому предмету. Отбор методов обучения определяется многими факторами: общими задачами обучения, содержанием изучаемого материала, уровнем подготовленности детей к овладению соответствующим материалом, возрастными особенностями учащихся и др.

Особенности использования на уроке тех или иных методов обучения можно найти в книге «Выбор методов обучения» [21].

Работа над программным материалом включает в себя несколько ступеней: подготовку к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление полученных знаний.

Перейдем к рассмотрению методов для каждой ступени обучения.

Подготовительная работа обеспечивает необходимые условия для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. На этой ступени можно использовать как метод беседы, так и метод самостоятельной работы.

При ознакомлении с новым материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами и т.п.), в процессе ознакомления с некоторыми приемами вычислений (прибавить и вычесть число 2 и т.п.), во время инструктажа учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля и т.п.) и в других подобных случаях используется метод объяснения учителем нового материала или репродуктивный метод – учащиеся приобретают знания в готовом виде.

Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным по времени. При этом по мере необходимости используются наглядные пособия – наглядный метод.

При ознакомлении учащихся с математическими понятиями (число, арифметическое действие и др.), с теоретическими знаниями типа закономерностей (свойства арифметический действий, связи между компонентами и результатами действий и т.п.) чаще всего используется метод беседы. Система упражнений в этом случае должна вести детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности, т. е. Здесь целесообразна эвристическая беседа, обеспечивающая индуктивный путь рассуждения.

При ознакомлении с новым материалом индуктивным путем учитель, проводя беседу, предлагает учащимся ряд упражнений. Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют существенные стороны формируемого знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т.е. приходят к обобщению.

К системе упражнений предъявляется ряд требований:

1. Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания.

2. Упражнения надо подбирать так, чтобы, анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенные стороны формируемого знания. Для этого подбираются упражнения так, чтобы сохранялись существенные стороны, а несущественные изменялись.

3. В начальном курсе математики есть сходные вопросы (например, переместительное свойство сложения и умножения) и есть противоположные (например, сложение и вычитание). При ознакомлении с новым материалом, который сходен с уже изученным, надо так подбирать упражнения, чтобы раскрывать новый материал в сопоставлении со сходным, т.е. сравнивать новый материал, выделяя существенное сходное. Раскрывая противоположные понятия, надо подбирать упражнения так, чтобы можно было использовать прием противопоставления, т.е. выделять существенное различное. Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого знания, предупреждают их смешение.

При ознакомлении с вопросами практического характера, которые вводятся на основе теоретических знаний (ознакомление с многими вычислительными приемами, с решением уравнений и т.п.), также используется эвристическая беседа, но обеспечивающая дедуктивный путь рассуждения: от общего положения к частному.

В начальном обучении наиболее эффективен индуктивно-дедуктивный метод, когда от рассмотрения частных случаев (задач, выражений) осуществляется переход к общим выводам и правилам, а затем на основании общих положений осмысливаются другие частные факты. Например, индуктивным путем формируется понятие о виде задачи: ученики решают ряд задач данного вида, выделяя в них существенное, типичное. Затем, встречая задачу, ученик при анализе ее содержания находит в ней те существенные признаки, которые характерны для задач этого вида, относит ее к данному виду и находит правильный способ ее решения.

В начальных классах иногда при ознакомлении с новым материалом используется метод самостоятельных работ: учащиеся самостоятельно выполняют упражнения и приходят к выводу, т.е. в приобретении знаний они используют исследовательский (проблемный) метод.

При закреплении полученных знаний широко используется метод самостоятельных работ. При этом полезно предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возможности каждого из детей.

В начальном курсе математики также используется лабораторный (практический) метод. Данный метод преимущественно используется при ознакомлении учеников с величинами: длиной, массой, емкостью, временем, площадью, объемом и др. – с их свойствами и способами измерения.

В развивающих системах обучения широко используется технология проблемно-диалогического обучения, которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания [30].

В данной технологии различают две больших группы методов:

1. Методы постановки учебной проблемы.
2. Методы поиска решения учебной проблемы.

В первую группу методов автор включает три основных метода постановки учебной проблемы:

ü побуждающий от проблемной ситуации диалог;

ü подводящий к теме диалог;

ü сообщение темы с мотивирующим приёмом.

Побуждающий от проблемной ситуации диалогнаиболее сложен для учителя, поскольку требует последовательного осуществления четырёх педагогических действий:

1) создание проблемной ситуации;

2) побуждения к осознанию противоречия проблемной ситуации;

3) побуждения к формулированию учебной проблемы;

4) принятия предлагаемых учениками формулировок учебной проблемы.

Подводящий к теме диалог проще, чем предыдущий, т.к. не требует создания проблемной ситуации. Он представляет собой систему (логическую цепочку) посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию темы урока. В структуру подводящего диалога могут входить разные типы вопросов и заданий: репродуктивные (вспомнить, выполнить по образцу); мыслительные (на анализ, сравнение, обобщение). Но все звенья подведения опираются на уже пройденный классом материал, а последний обобщающий вопрос позволяет ученикам сформулировать тему урока.

Третий метод - сообщение темы с мотивирующим приемом - наиболее простой из группы методов постановки учебной проблемы. Он заключается в том, что учитель сам сообщает тему урока, но вызывает к ней интерес детей применением одного из двух мотивирующих приемов:

1. «Яркое пятно» (сообщение классу интригующего материала, захватывающего внимание учеников, но при этом связанного с темой урока).
2. «Актуальность» (обнаружение смысла, значимости предлагаемой темы для каждого ученика).

Используя методы поиска решения учебной проблемы, учитель помогает ученикам «открыть» новое знание. На уроке существуют три основные возможности обеспечить такое «открытие»:

§ Побуждающий к гипотезам диалог.

§ Подводящий к знаниям от проблемы диалог.

§ Подводящий к знаниям без проблемы диалог.

Побуждающий к гипотезам диалог является наиболее сложным для учителя, поскольку требует осуществления четырёх педагогических действий:

1. Побуждения к выдвижению гипотез.

2. Принятия выдвигаемых учениками гипотез.

3. Побуждения к проверке гипотез.

4. Принятия предлагаемых учениками проверок.

Другой метод из группы методов поиска решения учебной проблемы - проще предыдущего, поскольку не требует выдвижения и проверки гипотез. Подводящий диалог (от проблемы или без проблемы) представляет собой логическую цепочку посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию нового знания.

Оформим описанные выше методы в форме таблицы.

1.3. Средства обучения математике

Подсредствами обучения математике понимается совокупность объектов любой природы, для которых характерно, что каждый из них:

1) представляет полностью или частично заменяет изучаемое понятие;

2) дает новую информацию об изучаемом понятии.

Таким образом, средства обучения рассматриваются как совокупность моделей самой различной природы.

Система средств обучения математике складывается из следующих основных видов пособий:

- учебники по математике;

- учебные пособия, содержащие тот или иной материал в дополнении к учебнику: тетради с печатной основой, карточки-задания для организации самостоятельной работы учащихся, сборники задач и упражнений по математике, материалы для проверки знаний учащихся и др.;

- различного рода методические пособия для учителя;

- материально-предметные (иллюстративные) модели, к которым могут быть отнесены приборы, таблицы, диапозитивы, диафильмы и т.п.

- ТСО.

Применение средств обучения раскрыто в книгах. «Средства обучения математике», «Средства обучения и методика их использования в начальной школе» [72; 73].

В настоящее время большое внимание уделяется совершенствованию наглядных пособий. Дидактический принцип наглядности является ведущим в обучении, но его, как и в познании, следует понимать шире, чем возможность зрительного восприятия.

Понятие наглядности требует в процессе обучения специального использования в учебных целях не только различных предметов и явлений или же их изображений, как это было раньше, но и моделей, символов, в том числе знаковых, отражающих в условной форме существенные свойства изучаемых явлений.

Особую роль наглядность играет в обучении детей младшего школьного возраста, т.к. соответствует особенностям их восприятия и усвоения знаний. Воздействуя на органы чувств (зрительные, слуховые и т.д.), средства наглядности обеспечивают разностороннее, полное формирование образа, понятия и тем самым способствуют более прочному усвоению знаний, пониманию связи научных знаний с жизнью.

Прежде чем отобрать для урока тот или иной вид наглядности, необходимо продумать место его применения в зависимости от его дидактических возможностей. При этом следует иметь в виду, в первую очередь, цели и задачи конкретного урока и отбирать такие наглядные пособия, которые четко выражают наиболее существенные стороны изучаемого на уроке понятия и позволяют ученику вычленять и группировать те существенные признаки, которые лежат в основе формируемого на данном уроке понятия.

1.4. Организационные формы обучения математике

Основной формой организации учебного процесса является урок, то есть такая организация учебной работы, когда постоянная группа учеников под руководством учителя изучает математику в течение точно установленного времени по определенному расписанию в соответствии с учебной программой.

Урок, как основная организационная форма обучения, обеспечивает системное включение каждого обучающегося, независимо от его актуального уровня, в основные виды деятельности и тем самым формирует у него способность к этим видам деятельности, то есть обеспечивает готовность к саморазвитию.

В последние годы в связи с вариативностью образовательных систем особенно остро встала проблема согласования, как учебного содержания, так и технологии обучения. В связи с этим встала задача описать один из возможных подходов к построению интегративной технологии развивающего обучения в целом и урока в частности. Решение данной задачи нашла свое отражение в работах Л.Г. Петерсон [39, 80] и активно внедряется в системе обучения «Школа 2000…»

Под интегративной технологией организации процесса обучения и урока, как его неотъемлемой части, автор понимает функционально связанную последовательность его этапов и систему требований к каждому из них.

В данной технологии уроки развивающего типа распределяются в четыре группы:

Ø Уроки открытия нового знания.

Ø Уроки рефлексии.

Ø Уроки общеметодологической направленности.

Ø Уроки контроля.

Уроки открытия нового знания включают в себя следующие этапы:

1. Организационный момент:

· создание положительного самоопределения ребенка к деятельности на уроке, т.е. включение школьника в урок, что предполагает возникновение у него желания работать (хочу) и уверенности в том, что у него все получиться (могу).

2. Актуализация знаний:

· актуализация ЗУН, достаточных для «открытия» нового знания (актуализация базовых знаний);

· фиксирование затруднения в индивидуальной деятельности;

· исследование деятельности по известному правилу (алгоритму);

· фиксирование невыполнимости деятельности по известному правилу (алгоритму).

3. Постановка проблемы.

Фиксирование в громкой речи:

· где возникло затруднение;

· почему оно возникло;

· какова тема урока.

4. «Открытие» детьми нового знания:

· по возможности включение детей в ситуацию выбора метода решения проблемы;

· решение детьми проблемы с помощью выбранного метода;

· фиксирование нового алгоритма (понятия) в языке.

5. Первичное закрепление:

· решение детьми типовых заданий;

· проговаривание способа решения в громкой речи.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой в классе:

· самостоятельное решение детьми типовых заданий;

· самостоятельная проверка детьми своей работы;

· создание ситуации успеха.

7. Повторение:

· включение нового знания в систему знаний;

· решение задач на повторение и закрепление изученного ранее.

8. Итог занятия:

· рефлексия деятельности на уроке (что нового узнали, с помощью какого инструмента, правила, алгоритма);

· самооценка детьми собственной деятельности.

На уроках рефлексии деятельность учащихся автор рекомендует организовывать по следующей структуре.

1. Во время организационного момента учитель устанавливает тематические рамки повторяемого содержания.

2. На этапе актуализации знаний организуется индивидуальная самостоятельная работа, которая заканчивается сопоставлением полученных результатов с образцами.

3. На этапе постановки проблемы учащиеся анализируют ситуацию и фиксируют допущенные ими ошибки.

4. На этапе устранения затруднений (этап аналогичный этапу открытия нового знания) организуется выявление причин зафиксированных затруднений и построения проекта выхода из них. Результатом этого этапа должно быть указание алгоритма, в котором допущены ошибки, и места нарушения этого алгоритма. Ошибка должна быть исправлена в соответствии с правильным применением алгоритма.

5. На этапе проговаривания причин типичных ошибок в громкой речи (этап аналогичный этапу первичного закрепления) обсуждаются типичные затруднения, повторяются формулировки алгоритмов и объясняется механизм их использования.

6. На этапе самоконтроля с проверкой каждый учащийся выполняет только те задания из числа предложенных, в алгоритме выполнения которых он допустил ошибку, и сравнивает полученные ответы с образцом. Учащиеся, не допустившие ошибок, выполняют творческие задания.

7. Этап повторения проводится в соответствии с технологией.

8. На этапе подведения итога урока учащиеся повторяют алгоритмы, вызвавшие затруднения, и анализируя допущенные ошибки.

Кроме урока применяются и другие формы организации обучения, рассчитанные либо на всех учеников класса, либо на часть их. Дополнительные формы чаще всего используются только в течение некоторого времени, а урок, являясь основной формой обучения, применяется постоянно. Всей работой на уроке непосредственно руководит учитель. На дополнительных занятиях работа ведется либо учителем, либо под его руководством самими учащимися.

При конструировании урока математики необходимо учитывать не только определенные этапы обучения, такие как актуализация опорных знаний, объяснение нового материала, закрепление и повторение ранее пройденного материала; но и специфику математического содержания: основную цель курса, его логику, методические приемы и подходы, которые способствуют ее достижению и находят отражение в школьных учебниках математики.

В связи с этим, анализируя урок математики с методической точки зрения, необходимо обращать внимание не только на внешнюю, но внутреннюю структуру урока (Н.Б. Истомина). Раскроем различие между этими понятиями. Например, комбинированный урок может иметь различную внешнюю структуру. Внутренняя структура урока определяется последовательностью и содержанием учебных заданий, взаимосвязью между ними, отражает процесс усвоения учащимися математического содержания и характер их деятельности.

Каждый урок с точки зрения внутренней структуры - это определенная система заданий, в процессе выполнения которых ученик овладевает знаниями, умениями, навыками, продвигаясь в своем развитии (Н.Б. Истомина). От того, какие задания подбирает учитель для данного урока, в какой последовательности их выстраивает, как организует деятельность учащихся, направленную на их выполнение, зависит достижение целей обучения, степень активности и самостоятельности учащихся.

Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности школьников. В них отражаются цели, содержание, методы и формы обучения.

Через учебные задания реализуются различные функции обучения:

ü мотивационные (предлагаются задания в игровой форме, проблемные ситуации);

ü развивающие (задания, в процессе выполнения которых формируются и развиваются психические процессы ученика);

ü познавательные (в результате выполнение данных заданий ученик подводится к новым знаниям или осознанию нового способа деятельности);

ü дидактические (в процессе выполнения таких заданий, воспитываются различные качества личности – аккуратность, внимательность, прилежание, произвольность поведения; задания, которые готовят ребенка к пониманию смысла проблемной ситуации, задания, выполнение которых обусловливает обобщение способа действия или понятия);

ü контролирующие (задания, качество выполнения которых показывает педагогу и самому ребенку уровень овладения им знанием или способом действия).

В дидактике учебные задания классифицируют по различным основаниям:

Ø в зависимости от этапов обучения выделяются:

1) задания на актуализацию знаний, умений и навыков (задания, выполнение которых готовит учащихся к пониманию сути и смысла проблемной ситуации);

2) задания, связанные с изучением нового материала (задания, пытаясь выполнить которые, ребенок сталкивается с проблемной ситуацией, или подводящие детей к осознанию недостаточности наличного уровня знаний или умений);

3) на закрепление и применение знаний, умений, навыков (задания, при выполнении которых ребенок применяет вновь приобретенные знания или умения в различных практических ситуациях);

4) на повторение (задания, для выполнения которых от учащихся требуется применение ранее полученных знаний или умений в новых или вариативных практических ситуациях);

5) контролирующие (задания, процесс, качество или способ выполнения которых учащимся показывает учителю и самому ребенку уровень и качество его достижений на данном этапе).

Использование одного и того же задания на различных этапах урока меняет его тип.

Ø в зависимости от характера познавательной деятельности школьников выделяются:

- репродуктивные задания (в процессе выполнения которых воспроизводятся выученных ранее знания или способы действий);

- тренировочные задания (при выполнении которых ученик либо подражает образцу, данному педагогом, стараясь достичь наибольшего сходства с ним; либо самостоятельно применяет ранее полученные знания, умения и навыки в условиях, аналогичных тем, в которых они формировались);

- частично-поисковые задания (при выполнении которых ученик либо применяет ранее полученные знания, умения и навыки в условиях, отличающихся от тех, которые имели место при их формировании; либо проявляет частичную самостоятельность в выборе способа действия; либо старается перенести имеющийся способ действия в другие условия и применяет его на другом родственном материале);

- творческие задания (предлагается новый непривычный тип задания, в процессе выполнения которого ученик проявляет поисковую активность; либо ученику предлагается самостоятельно выбрать и применить нужный способ действия, из имеющихся в наличии, на непривычном содержании; либо «изобрести» новый способ действия или видоизменить старый для выполнения новых функций) [28].

Представленная классификация позволяет определить дидактическую цель задания. Дидактические цели заданий являются единственными для любого года обучения и любого учебного предмета. Методическую цель задания определяет главным образом его математическое содержание. Это содержание зависит от программы обучения в соответствующем классе.

Наиболее распространенным типом урока математики в начальных классах являются комбинированные уроки, так как новый материал небольшими частями рассматривается почти на каждом уроке.

Общий способ деятельности учителя, связанный с планированием урока, можно представить в виде следующей последовательности вопросов.

1. Какие понятия, свойства, правила, вычислительные приемы рассматриваются на данном уроке? (Ответ поможет четко сформулировать математическое содержание урока и обозначить его тему).

2. Что вы о них знаете?

3. С каким понятием, свойством или вычислительным приемом знакомятся школьники на этом уроке? (Формулируется обучающая цель урока)

4. С какими из них дети знакомятся впервые? С какими уже знакомы? Когда они познакомились с ними? (Найдите эти страницы в учебниках и изучите содержание тех заданий, которые учащиеся выполняли после знакомства с этими понятиями, свойствами способами действий)

5. Какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая, контролирующая)? Какие знания, умения, навыки, приемы умственных действий формируются в процессе их выполнения?

6. Какие задания, предложенные в учебнике, по вашему мнению, можно исключить из урока? Какими заданиями можно его дополнить? Какие задания преобразовать?

7. Как можно организовать продуктивную, развивающую деятельность школьников, направленную на актуализацию знаний, умений и навыков, на восприятие нового материала, на его осознание и усвоение? Какие методические приемы и формы организации деятельности учащихся, известные вам из курса педагогики можно для этого использовать?

8. Какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении каждого задания, какие ошибки они могут допустить в процессе их выполнения; как вы организуете их деятельность по предупреждению или исправлению ошибок?

9. Какие формы организации деятельности детей на уроке вы будете использовать?

10. Какие наглядные пособия и раздаточный материал необходимо подготовить к уроку? С какими будете работать вы, а с какими предложите выполнить задание детям. Какой дидактический материал раздадите всему классу и когда это сделаете?

Определив внутреннюю структуру урока, необходимопродумать и такие вопросы:

ü что вы заранее напишете на доске;

ü что будете писать на доске вы, а что - дети в процессеобсуждения заданий;

ü какие задания дети будут выполнять самостоятельно,а какие - с вашей помощью;

ü как вы организуете обсуждение самостоятельной работы;

ü какие вопросы вы зададите детям, если они допустят ошибки в вычислениях [19].

Оформляя конспект урока, записывается его тема, цель, задачи, оборудование, ход урока с указанием этапов урока и времени, отводимого на каждый этап. Содержание урока оформляется в виде таблицы, состоящей из 4 колонок.

Методический анализ урока, включает в себя все компоненты педагогического анализа, но и имеет свою специфику, которая, прежде всего, обусловливается содержанием предмета. Особенность методического анализа заключается в том, что он должен проводиться в два этапа.

На первом этапе учитель сам оценивает свою работу: показывает, удалось ли ему реализовать намеченный план на практике (формулирует цель урока, обосновывает логику своих действий, которые спланировал для достижения этой цели, сравнивает логику запланированных действий с логикой проведения реального урока). На данном этапе целесообразно остановиться на следующих вопросах:

- Какие моменты урока оказались для учителя неожиданными?

- Чего он не смог учесть при планировании урока?

- На какие ответы учащихся не смог отреагировать?

- Пришлось ли ему отступить от запланированных действий и почему?

- Заметил ли он свои речевые ошибки, недочеты, неудачно сформулированные вопросы?

- Считает ли учитель, что урок достиг поставленной цели? Что является критерием этой оценки? (Активная работа школьников, и интерес к уроку, успешное выполнение самостоятельной работы и т.д.)

На втором этапе все эти вопросы - предмет дальнейшего обсуждения урока коллегами (методистом, студентами), присутствующими на уроке.

План этого обсуждения можно представить в виде следующей последовательности вопросов:

1. Соответствует ли логика урока его цели? (При обсуждении данного вопроса полезно остановиться не только на реальном уроке, но и на той логике, которая лежала в основе его планирования.)

2. Какие виды учебных заданий использовал учитель на уроке: тренировочные, частично-поисковые, творческие? Какие из них за­служивают положительной оценки? Почему?

3. Соответствуют ли учебные задания, подобранные учителем, цели урока?

4. Какие функции выполняли задания, предложенные учите­лем: обучающую, развивающую, контролирующую? Что заслуживает положительной оценки?

5. Грамотно ли учитель использовал математическую терминологию, предлагал учащимся вопросы и задания?

6. Какие методические приемы, используемые учителем на уроке, заслуживают положительной оценки? При работе над отдельными заданиями, при изучении нового, при закреплении, про­верке?

7. Какие формы организации деятельности учащихся (индивидуальная, фронтальная, групповая), применяемые учителем на уроке, заслуживают положительной оценки?

8. Удалось ли учителю установить контакт с детьми (обратная связь), успешно осуществлять коррекцию их действий, создавая ситуации успеха, реализовать идею сотрудничества? Какие моменты урока заслуживают положительной оценки с этой точки зрения? (Н.Б. Истомина).

1.5. Проверка и оценка знаний, умений и навыков

учащихся

Проверка и оценка достижений младших школьников является весьма существенной составляющей процесса обучения и одной из важных задач педагогической деятельности учителя.

В контексте идей личностно-ориентированной парадигмы образования проблема оценивания в учебно-воспитательном процессе приобретает новые формы и содержание. В современных педагогических технологиях наблюдается тенденция к уменьшению роли формального контроля и поиску технологий, с помощью которых можно реализовать обучающий и развивающий потенциал контроля. Авторы образовательных технологий подчеркивают мысль о том, что система контроля и оценки не может ограничиваться утилитарной целью - проверкой усвоения знаний и выработки умений и навыков по конкретному учебному предмету. Она ставит более важную социальную задачу: развить у школьников умение проверять и контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки и пути их устранения. В контексте этой парадигмы, целью оценочной деятельности учителя следует считать контроль успеваемости учащихся в учебно-воспитательном процессе и формирование установки на оценку своих возможностей – одного из основных компонентов самооценки.

Такое же понимание контроля и оценки результатов образования, места контроля в структуре образовательного процесса выражено в нормативно-правовых документах, касающихся современного этапа развития образовательной системы нашей страны (см. образовательный стандарт [75]).

Учитель начальной школы, как правило, на всех уроках придерживается одного подхода в осуществлении проверки и оценки достижений младших школьников, поэтому рассмотрим общий подход в реализации этого компонента процесса обучения и акцентируем его особенности при обучении математики.

Основными функциями контроля и оценки в начальной школе являются: социальная, образовательная, воспитательная, эмоциональная и функция управления [20].