Методы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел механики жидкости, в котором изучаются движение жидкости и его характеристики, но не рассматриваются силы, под действием которых осуществляется это движение.

В кинематике устанавливаются закономерности между координатами жидких частиц, их скоростями, ускорениями и другими параметрами, и изменениями этих параметров во времени.

Механическое состояние движущейся жидкости в любой точке внутри ее характеризуется двумя величинами: скоростью движения частиц жидкости и гидродинамическим давлением.

Представление о жидкости как о сплошной среде позволяет считать эти параметры непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени. Существуют два способа описания движения жидкости:

1.Способ Лагранжа, который заключается в задании текущих значений координат каждой рассматриваемой материальной точки как функции времени. Способ Лагранжа теоретически применим к описанию движения жидкости, если рассматривать это движение, как непрерывный поток частиц жидкости, составляющих сплошную среду. Движение жидкости определено, если для каждой частицы жидкости можно указать координаты , как функции начального положения и времени . Кинематические уравнения движения записываются при этом в виде функциональной зависимости:

(4.1)

Переменные называют переменными Лагранжа

Несмотря на полную информацию о движении массы жидкости, которую дает метод Лагранжа, он не получил широкого применения в механике жидкости. Это связано с тем, что уравнения движения, составляемые на основе метода Лагранжа сложны и трудноразрешимы. По этой причине наиболее широкое применение в механике жидкостей находит метод Эйлера.

2. Способ Эйлера основан на том, что совокупность мгновенных местных скоростей во всей области пространства, занятого движущейся жидкостью представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В поле скоростей выбирают фиксированную точку, в которой отслеживают изменения скоростей с течением времени. Переменные называют переменными Эйлера

Векторное поле скоростей может быть выражено и через проекции скоростей на соответствующие координатные оси в виде:

(4.2)

Так как состояние движущейся жидкости в каждой точке пространства определяется мгновенной локальной скоростью и значением гидродинамического давления, то описание движения жидкости сводится к определению поля скоростей и поля давлений во всем объеме, занимаемом движущейся жидкостью.

Полный дифференциал скорости будет равен:

Разделим данное уравнение на

Запишем уравнение на три координатные плоскости:

(4.3)

где левые части – полные производные ускорения в данных точках;

первые слагаемые правых частей – частные производные по времени -представляют собой проекции локального ( местного) ускорения в точке;

выделенные фигурной скобкой – конвективные производные;

выделенные по диагонали – прямые конвективные производные.

Важнейшей кинематической характеристикой, необходимой для составления динамических уравнений движения жидкости является ускорение.

В соответствии с физическим смыслом ускорение материальной точки или отдельной частицы жидкости определеяется полной производной вектора скорости по времени:

Местная производная указывает на стационарность (нестационарность) процесса. Или на установившееся и неустановившееся движения жидкости.

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени. Например, если скорость остается постоянной во времени, то или .

Конвективная производная показывает однородность (равномерность) поля скоростей.

Равномерным называется такое установившееся движение, при котором живые сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае ; средние скорости по длине потока также не изменяются, т.е. . Примером равномерного движения является: движение жидкости в цилиндрической трубе, в канале постоянного сечения при одинаковых глубинах.

Установившееся движение называется неравномерным, когда распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и постоянными вдоль потока. Примером неравномерного движения может быть движение жидкости в конической трубе или в речном русле переменной ширины.

Напорным называется движение жидкости, при котором поток полностью заключен в твердые стенки и не имеет свободной поверхности. Напорное движение происходит вследствие разности давлений и под действием силы тяжести. Примером напорного движения является движение жидкости в замкнутых трубопроводах (например, в водопроводных трубах).

Безнапорным называется движение жидкости, при котором поток имеет свободную поверхность. Примером безнапорного движения может быть: движение жидкости в реках, каналах, канализационных и дренажных трубах. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести и за счет начальной скорости. Обычно на поверхности безнапорного потока давление атмосферное.

Если уровень жидкости в резервуаре поддерживать все время постоянным , путем непрерывного подвода жидкости в сосуд из крана, то форма струи, дальность ее полета и расход жидкости через отверстие будут постоянными. Этот случай является иллюстрацией установившегося движения жидкости.

Примером неустановившегося движения является истечение жидкости из отверстия в резервуаре. По мере понижения уровня жидкости в сосуде с течением времени (моменты времени ) уменьшается дальность полета струи и расход вытекающей жидкости.