Принципы решения задач оптимизации

Задачи оптимизации очень часто встречаются в управленческой, финансовой и научной деятельности. Они позволяют отыскать наилучшее (оптимальное) решение, например дающее максимальную прибыль или обеспечивающее минимальные затраты. При этом требуется учитывать ряд дополнительных ограничений на значения используемых параметров. Для аналогичного решения подобных задач используются, как правило, методы математического программирования. На компьютере подобные задачи можно решать, используя имеющийся в табличном процессоре Excelрежим Поиск решения.

Если в какой-либо системе (экономической, организационной, военной и т.д.) имеющихся в наличии ресурсов не хватает для эффективного выполнения каждой из намеченных работ, то возникают так называемые распределительные задачи. Цель решения распределительной задачи – отыскание оптимального распределения ресурсов по работам. Под оптимальностью распределения может пониматься, например, минимизация общих затрат, связанных с выполнением работ, или максимизация получаемого в результате общего дохода.

Для решения таких задач используются методы математического программирования. Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Слово "программирование" заимствовано из зарубежной литературы, где оно используется в смысле "планирование".

Наиболее простыми и лучше всего изученными среди задач математического программирования являются задачи линейного программирования.

Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель эффективности L представляет собой линейную функцию, заданную на элементах решения x₁, x₂,…, x_n;

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

В общей форме записи модель задачи ЛП имеет вид:

целевая функция (ЦФ)

L=c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n→max(min) ;

при ограничениях

Допустимое решение – это совокупность чисел X=(x₁,x₂,…,x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи.

Оптимальное решение – это план X*=(x*₁,x*₂,…,x*_n), при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Для построения математической модели необходимо ответить на следующие три вопроса.

1. Что является искомыми величинами, то есть переменными этой задачи?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать наилучшему, то есть оптимальному, решению?

3. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, описанные в задаче?

Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия.

1. Ввести условие задачи:

a) создать экранную форму для ввода условия задачи:

• переменных,

• целевой функции (ЦФ),

• ограничений,

• граничных условий;

b) ввести исходные данные в экранную форму:

• коэффициенты ЦФ,

• коэффициенты при переменных в ограничениях,

• правые части ограничений;

c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:

• формулу для расчета ЦФ,

• формулы для расчета значений левых частей ограничений;

d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения"):

• целевую ячейку,

• направление оптимизации ЦФ;

e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск решения"):

• ячейки со значениями переменных,

• граничные условия для допустимых значений переменных,

• соотношения между правыми и левыми частями ограничений.

2. Решить задачу:

a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения");

b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения");

c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска решения").

Рассмотрим решение нескольких оптимизационных задач.