Решение. Выберем основную систему, отбросив левое закрепление и приложив реактивные силы (лишние неизвестные) Х1

Рис. 4.48. К примеру расчета трубопровода: а – заданная система; б – основная система; в – положение упругого центра

Выберем основную систему, отбросив левое закрепление и приложив реактивные силы (лишние неизвестные) Х₁, Х₂ и Х₃ (рис. 4.48, б). Для определения значений лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) найдем сначала положение упругого центра и геометрические характеристики , и .

Координаты упругого центра в системе координат xОy сосчитаем по формулам (4.33), где

м.

Статический момент относительно оси х равен сумме статических моментов четырех прямоугольников единичной толщины:

.

Статический момент третьего участка трубопровода (третьего прямоугольника) , так как центр тяжести этого прямоугольника лежит на оси х, а статические моменты остальных прямоугольников найдем следующим образом:

м²,

где – площадь первого прямоугольника, а (– ) – координата центра тяжести. Аналогично

м²,

м².

Таким образом,

м.

Вторая координата упругого центра

м.

Отложим эти координаты на рисунке и покажем точку С – упругий центр. Проведем через точку С центральные оси x_c, y_c (рис. 4.48, в). Найдем моменты инерции фигуры относительно этих осей. Момент инерции относительно оси х_с равен сумме моментов инерции четырех прямоугольников:

.

Сосчитаем момент инерции первого прямоугольника относительно оси х_с по формуле (4.34). Для рассматриваемого прямоугольника собственная ось х₀ перпендикулярна стороне l₁, поэтому первый член в (4.34) (момент инерции первого прямоугольника собственной оси х₀ ) не равен нулю. Таким образом, момент инерции относительно оси х_с

м³.

Для второго прямоугольника момент инерции относительно

оси х_с

м³.

Поскольку ось х₀ параллельна стороне прямоугольника l₂, то первое слагаемое в формуле (4.34) отсутствует ( ). Аналогично находим моменты инерции остальных прямоугольников:

м³;

м³.

И полный момент инерции относительно оси х_с равен м³. Так же вычислим момент инерции относительно оси y_c каждого прямоугольника:

м³;

м³;

м³;

м³.

Полный момент инерции относительно оси y_c равен сумме моментов инерции всех прямоугольников м³.

Найдем центробежный момент инерции. Момент инерции каждого прямоугольника определим по формуле (4.36). Обратим внимание на то, что, если при вычислении осевых моментов инерции знаки координат а и b можно опускать, так как они входят в формулы (4.34), (4.35) в квадрате, то при вычислении центробежного момента инерции эти знаки следует обязательно учитывать. Тогда

м³;

м³;

м³;

м³.

Полный центробежный момент инерции м³.

Длины трубопровода вдоль осей х и y: м, м. Подставляя найденные геометрические характеристики в формулы (4.30)–(4.32), сосчитаем значения лишних неизвестных:

м^–2;

м^–2;

м^–1.

Рис. 4.49. Определение внутренних усилий в трубопроводе: а – основная система с найденными реакциями в долях от aDTЕI; б – эпюра продольных сил N в долях от aDTЕI; в – эпюра изгибающих моментов М в долях от aDTЕI

Нарисуем основную систему и приложим в точке О найденные опорные реакции. Так как все лишние неизвестные оказались положительными, то сохраняем выбранное ранее направление всех неизвестных (рис. 4.49, а). Построим эпюры продольных сил и изгибающих моментов в долях от (рис. 4.49, б, в). На рис. 4.49, в показана равнодействующая сил Х₁ и Х₂, приложенных в упругом центре. Видно, что на линии действия этой равнодействующей изгибающий момент равен нулю.

Теперь можно решать вопрос о проверке прочности трубы. По эпюрам N и М находим опасное сечение. У нас это сечение в точке О (рис. 4.49, а). [14] В этом сечении действуют одновременно максимальный изгибающий момент и растягивающая продольная сила: , . Напряжения в опасных точках вычисляем по формулам (4.37) и (4.38). Для удобства расчетов приведем формулу (4.37) к другому виду. Максимальное напряжение от изгиба

,

так как момент сопротивления . Нормальное напряжение, вызванное продольной силой, найдем так:

,

где учтено, что для трубы

, ,

r – внутренний радиус трубы. Суммарные напряжения на площадках, перпендикулярных оси х, находим согласно (4.37), складывая s^N и .

Отметим особенность решаемой задачи об определении температурных напряжений в статически неопределимой раме: чем больше размер поперечного сечения (больше радиус трубы), тем больше возникающие в конструкции температурные напряжения. Это связано с тем, что с увеличением радиуса увеличивается жесткость рамы и уменьшается свобода деформаций, что и приводит к увеличению напряжений.

Вычисляя напряжения в опасных точках, обратите внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы для напряжений. В формуле для определения число 1,87 имеет размерность м^–1, в формуле для число 1,04 измеряется в м^–2. Таким образом, подставляя R в метрах, получим величину напряжения в тех же единицах измерения, что и модуль упругости Е. При проверке прочности в опасных точках трубы используйте знания, полученные при изучении разд. 2 "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния" [5]. Если условие прочности выполняться не будет, следует уменьшить радиус трубы и добиться удовлетворения условия прочности.