Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы)

От латинского queuting system.

Для описания и исследования непрерывных систем со случайным способом инициализации процесса применяются Q-схемы, основанные на применении основ теории массового обслуживания.

Характерным для таких процессов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания.

Основные понятия теории массового обслуживания.

Выделяют две составляющие акта облуживания:

1) ожидание обслуживания

2) обслуживание заявки.

Это можно изобразить в виде схемы:

где П_i – прибор обслуживания, Н_i – накопитель заявок, К_i – канал обслуживания заявок.

На каждый элемент прибора обслуживания поступают потоки событий: в Н_i – поток заявок w_i, на канал обслуживания К_i – поток обслуживания U_i.

Поток событий – это последовательность событий происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Потоки событий бывают однородными и неоднородными.

Поток является однородный, если он характеризуется только моментами поступления этих событий и задается последовательностью , где t_n – момент наступления n – ого события.

Поток неоднороден, если описывается последовательностью , где t_n – вызывающие моменты; f_n – набор признаков события (разные источники заявок, приоритет, выбор канала обслуживания).

Пример потока событий:

где Т_j – интервал между событиями (случайная величина); Т_н – время наблюдения; Т_с – момент совершения события.

Если Т_j = const или Т_j = f(Т_j-1) – то поток детерминированный, если нет, то случайный.

Случайные потоки бывают:

1) ординарными, когда вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;

2) стационарными, когда частота появления событий постоянная величина;

3) без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

В общем виде Q-схемы описываются соотношением:

где W – входные потоки; U – потоки обслуживания; H – емкость накопителя; Z – состояние системы; R – оператор сопряжения (отвечает за использование параллельного или последовательного соединения приборов обслуживания); A – оператор алгоритмов обслуживания.

При множестве допущений Q – схемы можно исследовать аналитически.

Q – схемами описываются процессы происходящие в операционных системах компьютеров с многозадачностью, некоторые технологические процессы и процессы экономики и т.д.