Введение. Колебательная система, выведенная из состояния равновесия, начинает колебаться с собственной частотой
Колебательная система, выведенная из состояния равновесия, начинает колебаться с собственной частотой. Из-за неизбежных потерь энергии колебания являются затухающими, и со временем система возвращается в состояние равновесия.
Чтобы колебания не затухали, колебательную систему нужно пополнять энергией. Тогда под действием внешней, периодически изменяющейся силы, под действием которой система совершает вынужденные колебания.
|
 |
|
Используя закон Ома для замкнутой цепи, получим для данного контура выражение:
, (1)
где 
– падение напряжения на активном сопротивлении 
; 
– падение напряжения на емкости; 
– ЭДС самоиндукции; 
( 
) – внешний источник ЭДС.
Учитывая, что ЭДС изменяется по гармоническому закону, получим:
( )= 
, а 
.
Преобразуем уравнение (1) к виду:
, (2)
где 
– коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, 
– частота собственных колебаний контура.
Спустя некоторое время после подключения источника ЭДС, в контуре устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой. Установившиеся вынужденные колебания заряда и силы тока в контуре описываются уравнениями:
, (3)
. (4)
Амплитуда силы тока 
и начальная фаза 
находятся по формулам:
, (5)
. (6)
Графики зависимости при различных значениях сопротивления , называемые резонансными кривыми колебательного
контура, представлены на рисунке 2.
Из формулы (5) следует, что амплитуда силы тока в контуре 
зависит от частоты питающего напряжения 
и она будет максимальна при частоте, отвечающей условию 
, называемой резонансной частотой 
. Выражая отсюда , получаем:
. (7)
Таким образом, частота внешней вынуждающей ЭДС станет равной частоте собственных колебаний контура.
Резонансная циклическая частота не зависит от сопротивления . Амплитуда силы тока при резонансе равна 
. Амплитуда падения напряжения на конденсаторе равна амплитуде падения напряжения на индуктивности (ЭДС самоиндукции):
,
.
При 
резонансный пик (амплитуда силы тока ) уходит в бесконечность, при этом энергия постоянно вводится в систему и не рассеивается. В реальных системах сопротивление никогда не равно нулю, поэтому резонансный пик имеет конечную высоту.
|
«Остроту» резонансной кривой можно охарактеризовать с помощью относительной ширины этой кривой. Она определяется как 
, где 
- разность значений 
и 
циклических частот, соответствующих 
(рис. 3).
Полагая в формуле (5) 
, получаем:
или
.
Заменив 
и 
, получим следующее уравнение, которому удовлетворяют искомые значения и циклической частоты:
.
Это биквадратное уравнение эквивалентно следующим двум квадратным уравнениям: 
и 
.
Решая их совместно и отбрасывая отрицательные корни, так как они не соответствуют физическому смыслу , находим, что:
,
,
.
Относительная ширина резонансной кривой колебательного контура равна отношению активного сопротивления контура к его волновому сопротивлению:
. (8)
Колебательную систему принято характеризовать добротностью 
– безразмерной величиной, равной произведению 
на отношение энергии 
колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от до 
, т.е. за один условный период затухающих колебаний:
.
Можно показать, что при малых значениях коэффициента затухания ( 
<<1) добротность колебательной системы равна:
. (9)
Из (9) видно, что относительная ширина резонансной кривой колебательного контура есть величина, обратная добротности контура :
. (10)
В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше его добротность (рис. 4).
Колебательный контур широко применяется в радиотехнике для приема сигналов радиостанций, работающих на фиксированных частотах, в измерительной технике для создания селективных вольтметров, реагирующих на выбранную частоту и нечувствительных к сигналам (помехам) других частот.
Дата добавления: 2015-03-03; просмотров: 483;