Теория релаксационного процесса в RC-цепи

Под релаксационным процессом в RC-цепях понимается процесс установления стационарного заряда конденсатора при подаче на него напряжения.

Для анализа процесса рассмотрим цепь, приведенную на рис. 1.

Пусть конденсатор предварительно заряжен зарядом , как показано на рисунке 1. После замыкания ключа конденсатор начнет разряжаться током , протекающим через резистор . Поскольку емкость и резистор включены параллельно, напряжение на них одно и то же:

. (1)

Так как и , то из (1) получаем:

. (2)

Ток в цепи пропорционален заряду конденсатора . Опираясь на этот факт, можно найти зависимость заряда конденсатора от времени. С течением времени заряд конденсатора уменьшается до нуля, причем скорость уменьшения заряда равна силе тока через конденсатор:

. (3)

Пусть время, за которое заряд конденсатора уменьшится в раз, равно . Обозначим за значение тока в цепи в момент времени , а – заряд конденсатора в тот же момент времени. Тогда для момента времени имеем уравнение:

. (4)

Это уравнение, с точностью до обозначений, совпадает с уравнением (2), поэтому заряд уменьшится в раз через тот же промежуток времени . Продолжая рассуждения, по аналогии можно составить такую таблицу:

			2	...
				...

Из таблицы можно заключить, что зависимость заряда конденсатора от времени должна иметь вид:

. (5)

Значение , очевидно, равно заряду конденсатора в момент времени , т.е. немедленно после замыкания ключа .

В справедливости полученной формулы легко убедиться, если из уравнения (2) исключить силу тока с помощью уравнения (3). Уравнение для заряда будет выглядеть так:

. (6)

Подставляя из уравнения (5), получим:

. (7)

Отсюда следует, что уравнения (7) и (6) удовлетворяются, если:

. (8)

Величина называется постоянной времени -цепи.

Зная заряд на конденсаторе, легко найти напряжение на нем, поделив заряд конденсатора на величину его емкости .

Напряжение на конденсаторе меняется по закону:

, (9)

где – значение напряжения на конденсаторе при .

Поделив напряжение на величину резисторного сопротивления, можно найти зависимость тока в цепи от времени:

. (10)

Графики зависимостей силы тока и напряжения от времени приведены на рисунках 2 и 3.

Подобным образом можно найти зависимости тока и напряжения и для случая зарядки конденсатора в схеме, приведенной на рисунке 4.

Пусть до замыкания ключа конденсатор не заряжен. После замыкания ключа в момент времени в цепи возникает ток , и конденсатор начинает заряжаться. При этом для контура выполняется второй закон Кирхгофа:

. (11)

Заменив и , получаем:

. (12)

Так как сила тока равна скорости увеличения заряда конденсатора:

, (13)

то, дифференцируя (12) и подставляя из (13), получаем:

. (14)

Уравнение (14) совпадает с точностью до замены на с уравнением (6). Поэтому решение уравнения (14) можно написать по аналогии с решением уравнения (6):

, (15)

где – значение тока в начальный момент времени, которое можно определить из уравнения (11), учитывая, что при . Тогда:

, (16)

а напряжение на резисторе меняется по закону:

. (17)

Напряжение на емкости можно найти из уравнений (11) и (17):

. (18)

Графики этих зависимостей приведены на рисунках 5 и 6.