Додавання гармонічних коливань
Коливання, для котрих зміщення як функція часу може бути описано будь-яким законом, окрім синуса чи косинуса, називають складними (негармонічними).
Відомо, що будь-яке складне коливання можна подати у вигляді суми простих гармонічних коливань. Перш ніж аналізувати складні коливання (а таку задачу медикам доводиться розв'язувати досить часто), розглянемо, до яких результатів може призвести додавання гармонічних коливань.
1. Додавання гармонічних коливань, спрямованих вздовж однієї прямої
Нехай тіло бере участь одночасно у двох коливаннях, спрямованих вздовж однієї прямої, причому амплітуди і періоди (частоти) цих коливань однакові, а початкові фази різні
.
Результуюче зміщення х тіла від положення рівноваги дорівнює алгебраїчній сумі зміщень х1 і х2:
де
Таким чином, результуюче коливання являє собою гармонічне коливання, яке відбувається вздовж тієї ж самої прямої, що і складові коливання, і з періодом (частотою), який дорівнює періоду (частоті) складових коливань. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз складових коливань. Якщо φ1 -φ2 = 2kπ , де k= 0, 1,2, ...,то = ±1 і Арез = 2А (або Арез = А1+A2, якщо A1≠ А2). Якщо φ1- φ2 = (2k + 1)π, то
= 0 і Арез= 0 (або Арез = А1-A2, якщо A1≠ А2 ).
Якщо складові коливання відрізняються періодами (частотами), то результуюче коливання вже не буде гармонічним. Розглянемо, як особливо цікавий, результат додавання двох гармонічних коливань рівних амплітуд і фаз, періоди (частоти) яких відрізняються, тобто
.
Результуюче зміщення дорівнює
де .
Якщо різниця ω1-ω2 мала, то амплітуда A(t) змінюється з часом за гармонічним законом, але з частотою Такі коливання називають биттям (мал. 1.27).
Мал. 1.27. Биття.
Період зміни амплітуди коливань називають періодом биття (Тб). Період биття може бути визначений з умови:
.
Отже, частота . Таким чином,
частота зміни амплітуди результуючого коливання дорівнює різниці частот складових коливань.
2. Додавання взаємноперпендикулярних гармонічних коливань
Нехай матеріальна точка водночас бере участь у двох коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках:
Сукупність координат х і у матеріальної точки у різні моменти часу визначають траєкторію руху матеріальної
точки у площині XY. Форма траєкторії залежить від співвідношення частот і різниці фаз складових коливань. Наведемо деякі випадки додавання коливань (мал. 1.28):
1) ,
рівняння траєкторії ;
2) ,
рівняння траєкторії ;
3) , рівняння траєкторії ;
4, 5) , у цьому випадку форма траєкторії залежить від співвідношення частот ω1 і ω2. На мал. 1.28 наведено траєкторії для випадків ω1:ω2=1:2 і ω1: ω2= 2:3.
с
Мал. 1.28. Складання взаємно перпендикулярних коливань (фігури Лісажу).
Отримані криві, що їх описує матеріальна точка, називають фігурами Лісажу. Криві, подібні до кривих Лісажу, спостерігають при дослідженні біопотенціалів серця методом векторелектрокардіографії.
Дата добавления: 2015-03-03; просмотров: 1146;