Основы нечеткой логики

Нечеткая логика (fuzzy logic) - это надмножество классической булевой логики. Она расширяет возможности классической логики, позволяя применять концепцию неопределенности в логических выводах. Употребле­ние термина "нечеткий" применительно к математической теории может ввес­ти в заблуждение. Более точно ее суть характеризовало бы название "непре­рывная логика". Аппарат нечеткой логики столь же строг и точен, как и класси­ческий, но вместе со значениями "ложь" и "истина" он позволяет оперировать значениями в промежутке между ними. Говоря образно, нечеткая логика по­зволяет ощущать все оттенки окружающего мира, а не только чистые цвета.

Нечеткая логика как новая область математики была представлена в 60-х го­дах профессором калифорнийского университета Лотфи Заде (Lotfi Zadeh). Пер­воначально она разрабатывалась как средство моделирования неопределенности естественного языка, однако впоследствии круг задач, в которых нечеткая логи­ка нашла применение, значительно расширился. В настоящее время она исполь­зуется для управления линейными и нелинейными системами реального време­ни, при решении задач анализа данных, распознавания, исследования операций.

Часто для иллюстрации связи нечеткой логики с естественными представ­лениями человека об окружающем мире приводят пример о пустыне. Опреде­лим понятие "пустыня" как "бесплодная территория, покрытая песком". Те­перь рассмотрим простейшее высказывание: "Сахара - это пустыня". Нельзя не согласиться с ним, принимая во внимание данное выше определение. Пред­положим, что с поверхности Сахары удалена одна песчинка. Осталась ли Саха­ра пустыней? Скорее всего, да. Продолжая удалять песчинки одну за другой, всякий раз оцениваем справедливость приведенного ранее высказывания. По прошествии определенного промежутка времени песка в Сахаре не останется и высказывание станет ложным. Но после какой именно песчинки его истин­ность меняется? В реальной жизни с удалением одной песчинки пустыня не исчезает. Пример показывает, что традиционная логика не всегда согласуется с представлениями человека. Для оценки степени истинности высказываний ес­тественный язык имеет специальные средства (некоторые наречия и обороты, например: "в некоторой степени", "очень" и др.). С возникновением нечеткой логики они появились и в математике.

Одно из базовых понятий традиционной логики - понятие подмножества. Подобно этому в основе нечеткой логики лежит теория нечетких подмножеств (нечетких множеств). Эта теория занимается рассмотрением множеств, опре­деляемых небинарными отношениями вхождения. Это означает, что принима­ется во внимание не просто то, входит элемент во множество или не входит, но и степень его вхождения, которая может изменяться от 0 до 1.

Пусть S - множество с конечным числом элементов, S={s₁, s₂,..., s_n}, где n - число элементов (мощность) множества S. В классичес­кой теории множеств подмножество U множества S может быть определено как отображение элементов S на множество В = {0, 1}:

U: S => В.

Это отображение может быть представлено множеством упорядоченных пар вида:

{s_i,m_ui}, iÎ[1,n],

где s_i - i-й элемент множества S; n - мощность множества S; m_Ui - элемент множества В = {0, 1}. Если m_Ui = 1, то s_i является элементом подмножества U. Элемент "0" множества В используется для обозначения того, что s_i не входит в подмножество U. Проверка истинности предиката "s_kÎU" осуществляется пу­тем нахождения пары, в которой s_k - первый элемент. Если для этой пары m_Uk =l, то значением предиката будет "истина", в противном случае - "ложь".

Если U - подмножество S, то U может быть представлено n-мерным векто­ром (m_U1, m_U2,…, m_Un), где i-й элемент вектора равен "1", если соответствую­щий элемент множества S входит и в U, и "0" в противном случае. Таким обра­зом, Uможет быть однозначно представлено точкой в n-мерном бинарном ги­перкубе Вⁿ, В = {0, 1} (рисунок 1).

Рисунок 1 - Графическое представление традиционного множества

Нечеткое подмножество F может быть представлено как отображение эле­ментов множества S на интервал I = [0, 1]. Это отображение определяется мно­жеством упорядоченных пар: {s_i,m_F,(s_i)}, iÎ[1,n], где s_i - i-й элемент множества S; n - мощность множества S; m_F(s_i) Î [0, 1] -степень вхождения элемента s_i в множество F. Значение m_F(s_i), равное 1, озна­чает полное вхождение, m_F(s_i) = 0 указывает на то, что элемент s_i не принадле­жит множеству F. Часто отображение задается функцией m_F(x) принадлежнос­ти х нечеткому множеству F. В силу этого термины "нечеткое подмножество" и "функция принадлежности" употребляются как синонимы. Степень истиннос­ти предиката "s_kÎF" определяется путем нахождения парного элементу s_k зна­чения m_F(s_k), определяющего степень вхождения s_k в F.

Обобщая геометрическую интерпретацию традиционного подмножества на не­четкий случай, получаем представление F точкой в гиперкубе Iⁿ, I = [0,1]. В отличие от традиционных подмножеств точки, изображающие нечеткие подмножества, мо­гут находиться не только на вершинах гиперкуба, но и внутри него (рисунок 2).

Рисунок 2 - Графическое представление нечеткого множества

Рассмотрим пример определения нечеткого подмножества. Имеется мно­жество всех людей S. Определим нечеткое подмножество Т всех высоких лю­дей этого множества. Введем для каждого человека степень его принадлежно­сти подмножеству Т. Для этого зададим функцию принадлежности m_Т(h), оп­ределяющую, в какой степени можно считать высоким человека ростом h сан­тиметров.

(1)

где h - рост конкретного человека в сантиметрах.

График этой функции пред­ставлен на рисунке 3.

Рисунок 3 - График функции принадлежности rn_T(h)

Пусть рост Михаила - 163 см, тогда истинность высказывания "Михаил высок" будет равна 0.21. Использованная в данном случае функция принад­лежности тривиальна. При решении большинства реальных задач подобные функции имеют более сложный вид, кроме того, число их аргументов может быть большим.

Методы построения функций принадлежности для нечетких подмножеств довольно разнообразны. В большинстве случаев они отражают субъективные представления экспертов о предметной области. Так, например, кому-то чело­век ростом 180 см может показаться высоким, а кому-то - нет. Однако часто такая субъективность помогает снизить степень неопределенности при реше­нии слабо формализованных задач. Как правило, для задания функций принад­лежности используются типовые зависимости, параметры которых определя­ются путем обработки мнений экспертов. Представление произвольных функ­ций при реализации автоматизированных систем часто затруднено, поэтому в реальных разработках такие зависимости аппроксимируются кусочно-линей­ными функциями.

Необходимо осознавать разницу между нечеткой логикой и теорией веро­ятностей. Заключается она в различии понятий вероятности и степени принад­лежности. Вероятность определяет, насколько возможен один из нескольких взаимоисключающих исходов или одно из множества значений. Например, может определяться вероятность того, что утверждение истинно. Утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Степень принадлежности показы­вает, насколько то или иное значение принадлежит определенному классу (под­множеству). Например, при определении истинности утверждения ее возмож­ные значения не ограничены "ложью" и "истиной", а могут попадать и в проме­жуток между ними. Еще одно различие выражено в математических свойствах этих понятий. В отличие от вероятности для степени принадлежности не тре­буется выполнение аксиомы аддитивности.