Метод уравнений состояния
Как известно, переходный процесс в любой цепи определяется не только параметрами входящих в нее элементов, но и независимыми начальными (t=0+) условиями — токами через индуктивности и напряжениями на емкостях
в момент времени t=0+, которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражают искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния выбирают токи
и напряжения
.
Действующие в цепи источники называются входными переменными , неизвестные функции — выходными
. Для цепи с n независимыми токами
и напряжениями
должны быть заданы еще n независимых начальных условий.
Для линейных цепей система уравнений состояния является линейной и может быть записана в виде набора дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно представить в виде матричного уравнения:
или в более компактной форме
,
где — квадратная матрица порядка n (основная);
— матрица-столбец (размера
) переменных состояния (вектор переменных состояния);
— матрица размера
(матрица связи);
— матрица-столбец (размера
) ЭДС и токов источников. Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.
Расчет цепей методом переменных состояния можно разделить на два этапа:
1) составление системы дифференциальных уравнений цепи;
2) решение составленной системы дифференциальных уравнений.
Составить систему дифференциальных уравнений цепи можно различными способами, например, с применением метода наложения или непосредственно из системы уравнений, записанных по законам Кирхгофа, путем исключения токов и напряжений резистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа при увеличении числа ветвей цепи становится все более громоздким.
Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме, как показано в [1].
Решение системы дифференциальных уравнений, составленных методом переменных состояния, можно выполнить как аналитически, так и численными методами.
При аналитическом решении уравнения состояния записываются в виде суммы матриц свободной — и принужденной —
составляющих:
Здесь — соответствует переходному процессу (свободная составляющая) в цепи, обусловленному ненулевыми начальными условиями
при отсутствии внешних воздействий
,
—соответствует реакции цепи на внешние воздействия
при нулевых начальных условиях
;
— матрица (вектор) начальных значений переменных состояния, полученных при
;
— матричная экспоненциальная функция.
Таким образом, если в цепи после коммутации нет источников энергии, т.е. , то решение матричного уравнения имеет вид
Если же после коммутации имеются источники независимых воздействий, то матрица и интегрирование матричного дифференциального уравнения
приводит к решению в виде
.
Это решение состоит из суммы двух слагаемых — реакции цепи при ненулевых начальных условиях и реакции цепи при нулевых начальных условиях и наличии источников внешних воздействий .
Главная трудность расчета аналитическим методом заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Матричную функцию вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [2]:
,
где ,
— собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы
,
, т.е. корни уравнения
,
где — единичная матрица порядка n.
Характеристические числа — это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Разложение матричной функции в представленный ряд предполагает, что характеристические числа различные (нет кратных корней).
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 1292;