Процентные ставки и методы их начисления

Финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной стоимости денег, - один из краеугольных элементов финансового менеджмента и используется в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

Логика построения основных алгоритмов основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо при помощи получаемого прироста ∆ = FV – PV, либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – ставкой (r). Этот показатель рассчитывают отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV (получим процентную ставку), либо FV (получим учетную ставку).

Таким образом, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины: FV, PV и ставка r, две из которых заданы, а одна является искомой. Процесс, в которой заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (рис. 4.1.). Необходимо отметить, что в качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Исходная сумма Наращение (Возвращаемая сумма)

Процентная ставка

(Приведенная сумма) Возвращенная сумма

Дисконтирование Дисконтная ставка

Рис. 4.1. Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку, как следует из определения процентной ставки r,

(4.1.)

то видно, что время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют временную ценность.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочивании денежных потоков различных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год. Существуют две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность – r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно растет на величину Р · r. Тогда размер инвестированного капитала через n лет (R_n) будет равен:

R_n = Р + Р · r + … + Р · r = Р · (1 + n r ) (4.2.)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала к концу n-го года будет равен:

F_n = P (1 + r)ⁿ (4.3.)

Можно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

- более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

- более выгодна схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

- обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Схему простых процентов используют в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берут величину, характеризующий удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина временных интервалов в расчетах может округляться: месяц – 30 дней; квартал – 90; полугодие – 180; год – 360 (или 365) дней. Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера с использованием формулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами:

(4.4.)

где d – годовая дисконтная ставка в долях единицы;

t – продолжительность финансовой операции в днях;

T – количество дней в году;

f – относительная длина периода до погашения ссуды (операция имеет смысл, если число в скобках не отрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этой ситуации капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Применяя простой процент, доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах либо в текущей деятельности.

Формула сложных процентов – одна из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FM1(r,n), называемого мультиплицирующим множителем и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n. Тогда формулу алгоритма наращения по схеме сложных процентов (формула 4.3.) можно переписать так:

F_n = P · FM1(r,n), (4.5.)

где FM1(r,n) = (1 + r)ⁿ – мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FM1(r,n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке r (замечание: при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки, т.е. если базисный период начисления процентов взят квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка).

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалом и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле:

(4.6.)

где r – объявленная годовая ставка;

m – количество начислений в году;

k – количество лет.

Если финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет, то в этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

- по схеме сложных процентов:

F_n = P · (1 + r)^{w + f} ; (4.7.)

- по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

F_n = P · (1 + r)^w · (1 + f · r), (4.8.)

где w – целое число лет;

f – дробная часть года.

Поскольку f < 1, то (1 + f · r) > (1 + r) ^f, наращенная сумма больше при использовании смешанной схемы.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

- схема сложных процентов:

(4.9.)

- смешанная схема:

(4.10.)

где k – количество лет;

m – количество начислений в году;

r – годовая ставка;

f – дробная часть подпериода.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы происходит различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы (4.6.) следует:

(4.11.)

так как

(4.12.)

Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:

F_n = P · e ^r . (4.13.)

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка r_e, обеспечивающая переход от P к F_n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов. Она рассчитывается по формуле:

(4.14.)

Из формулы (4.14.) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка r_e служит критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

5.2. Денежные потоки: виды, оценка

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные ценные бумаги, или нет. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопасном» уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений F_n (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с точки зрения текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения, инвестор обычно руководствуется тремя посылами: а) происходит перманентное обесценение денег (инфляция); б) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые компанией, может существенно отличаться от темпа инфляции; в) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере не ниже определенного минимума. Базируясь на этих посылах, инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа вытекает из формулы (4.3.):

(4.15.)

где F_n - доход, планируемый к получению в n-м году;

P – текущая (или приведенная) стоимость, т.е. оценка величины F_n с точки зрения текущего момента;

r – коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет (F_n) с точки зрения текущего момента меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для инвестора сумма Р в данный момент и сумма F_n через n лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом случае коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой инвестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Множитель FM2 (r,k) = 1 / (1 + r)^k называется дисконтируемым множителем, его значения также табулированы. Экономический смысл дисконтирующего множителя FM2 (r,k) следующий: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с точки зрения текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса k периодов спустя от момента расчета, при заданной процентной ставке (доходности) r и частоте начисления процента.

Один из основных элементов финансового анализа вообще и оценки инвестиционных проектов – оценка денежного потока С₁, С₂, …, С_n, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С_i могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором – потоком постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: 1) прямой, т.е. проводится оценка с точки зрения будущего (реализуется схема наращения); 2) обратной, т.е. проводится оценка с точки зрения настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов. То в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (4.3.).

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо FV_PST может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула такова:

(4.16.)

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи формулы (4.15.). Основной результат расчета – определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока – постнумерандо или пренумерандо. Именно обратная задача является основной при оценке инвестиционных потоков.

В частности, приведенная стоимость денежного потока постнумерандо FV_PST в общем случае может быть рассчитана по следующей формуле:

(4.17.)

Будущая и приведенная стоимости денежного потока пренумерандо FV_PRE и PV_PRE можно найти, соответственно, по следующим формулам:

FV_PRE = FV_PST · (1 + r); (4.18.)

PV_PRE = PV_PST · (1 + r). (4.19.)