Системы счисления. Представление данных в ЭВМ.

В современном мире для записи числовой информации используют позиционные системы счисления, в которых числа записываются с помощью ограниченного количества цифр, а фактический вес цифры в результирующем числе определяется не только ее значением, но и позицией, которую она занимает в записи числа. Вес соседних позиций отличается в M раз, где M - основание системы счисления.

Пусть, например, имеем запись числа

a_n ... a₃ a₂ a₁ a₀

тогда его значение можно вычислить по следующей формуле

a_n*Mⁿ + ... + a_3*M³ + a_2*M² + a_1*M¹ + a_0*M⁰ ,

где a_n...a₀ - цифры из записи числа.

Максимальное значение числа без знака, которое может быть представлено N разрядами позиционной системы счисления определяется как

M^N - 1 .

В общепринятой десятичной системе счисления для записи чисел используются десять цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Основание системы счисления - 10. Значение числа определяется, например, так

9721 (10) = 9*10³ + 7*10² + 2*10¹ + 1*10⁰

В вычислительной технике, кроме десятичной, широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Все данные внутри ЭВМ представлены в двоичной системе, поскольку в этом случае достаточно всего двух цифр, а электронные схемы, как правило, тоже имеют два различных состояния. Десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы используются при выводе информации для пользователя, недостающие цифры шестнадцатеричной системы счисления заменяются буквами A,B,C,D,E,F.

Приведем несколько примеров:

1010 (2) = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 10 (10)

2701 (8) = 2*8³ + 7*8² + 0*8¹ + 1*8⁰ = 1473 (10)

F4A (16) = 15*16² + 4*16¹ + 10*16⁰ = 3914 (10)

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую нужно последовательно делить его на основание новой системы счисления, при этом остатки от каждого деления будут представлять собой цифры из записи числа в новой системе, например:

1473 : 8 = 184 остаток 1

184 : 8 = 23 остаток 0

23 : 8 = 2 остаток 7

2 : 8 = 0 остаток 2

---------------------------

1473 (10) = 2701 (8)

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную осуществляется путем разбиения двоичного числа на триады или тетрады и записи вместо них соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифры. Например:

0101 1011 1111 1100 (2) = 5BCF (16) = 23548 (10)

5 11=B 15=F 12=C

0 101 101 111 111 100 (2) = 55774 (8) = 23548 (10)

5 5 7 7 4

Обратное преобразование выполняется путем записи вместо восьмеричной или шестнадцатеричной цифры соответствующей двоичной триады или тетрады.

Целые беззнаковые числа хранятся в памяти ЭВМ в виде двоичных чисел, занимающих N двоичных разрядов. Диапазон чисел в этом случае от 0 до 2^N-1. Целые числа со знаком, записанные в те же N двоичных разрядов будут иметь диапазон от -2^(N-1) до 2^(N-1)-1 .

Действительные числа хранятся в памяти ЭВМ в специальном формате с плавающей точкой. При этом часть двоичных разрядов ячейки хранит мантиссу числа со знаком, а другая часть - порядок числа. Диапазон действительных чисел определяется количеством двоичных разрядов, отведенных под порядок, а их точность - количеством разрядов под мантиссу.

Символы представлены в ЭВМ в виде соответствующих целочисленных кодов, хранимых в двоичной форме. Обычно под символ отводится один байт памяти, поэтому количество различных символов равно 2⁸-1=255.