Ортогональная проекция окружности

Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной проекцией окружности будет тоже эллипс. Так, проецируя окружность, расположенную в плоскости S с центром в точке D, ортогонально на плоскость П¢, получим эллипс с центром в точке D¢ в соответствии с рисунком 1.3.28.

Рассмотрим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD, причём АВ проходит по прямой уровня плоскости S (по прямой h), т.е. АВ||П¢. Следовательно, А¢В¢=АВ=d, где d – диаметр окружности. Диаметр CD как перпендикулярный к АВ, являющийся линией уровня плоскости S, называется также линией наибольшего наклонаданной плоскости к плоскости проекций П¢. Такое название объясняется тем, что среди различных прямых плоскости S линия наибольшего наклона CD, перпендикулярная к линии уровня АВ, образует наибольший угол с плоскостью проекций П¢. Угол j, образованный диаметром окружности CD и диаметром эллипса C¢D¢ как проекцией CD, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости S к плоскости П¢. Тогда C¢D¢=CD·cosj, но CD=АВ=d, следовательно C¢D¢=d·cosj.

Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряжённости (каждый сопряжённый диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры А¢В¢ и C¢D¢ будут сопряжёнными диаметрами эллипса.

Рисунок 1.3.29 – Ортогональная проекция окружности

Но с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причём А¢В¢ – большая ось, C¢D¢ – малая ось.

Если провести какую-нибудь прямую n, перпендикулярную к плоскости S в соответствии с рисунком 1.3.29, то такая прямая будет перпендикулярна ко всякой прямой плоскости S, в частности, будет перпендикулярна к диаметру АВ||П¢. Поэтому её ортогональная проекция n¢ на плоскость П¢ окажется прямой, перпендикулярной к проекции А¢В¢ диаметра АВ. Иначе говоря, проекция прямой, перпендикулярной к плоскости S, параллельна малой оси эллипса.

Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, плоскость S которой составляет угол j с плоскостью проекций, параллельна проекции линии уровня плоскости Sи равна диаметру окружности, а малая ось параллельна проекции перпендикуляра к плоскости S и равна d·cosj.

Рассмотрим соотношение осей полученного эллипса:

Для данных плоскостей S и П¢ угол j и cosj – величины постоянные. Вследствие этого cosj может служить характеристикой отношения осей эллипса, которое, в свою очередь, характеризует форму эллипса.

Итак, как бы ни была расположена окружность в плоскости S, на плоскости проекций всегда будет получаться эллипс одной и той же формы. Следует отметить, что при данном угле j не только форма эллипса будет постоянной, но и расположение осей также не будет зависеть от размеров и положения окружности в плоскости S.

Если угол j увеличивать, то эллипс, имея постоянной большую ось, будет становиться всё уже. В пределе, когда угол j станет равным 90°, а cosj=0, т.е. плоскость S перпендикулярна плоскости П¢, окружность будет проецироваться в отрезок.

Если cosj=1, то плоскость S параллельна плоскости проекций и эллипс-проекция принимает форму окружности.

Рассмотрим построение окружности, расположенной в проецирующей плоскости в соответствии с рисунком 1.3.30, а.

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом R лежит во фронтально проецирующей плоскости S(S₂). Выберем два взаимно перпендикулярных диаметра окружности АВ и CD, из которых АВ||П₂, а CD||П₁. Таким образом, диаметр CD совпадает с горизонталью плоскости S, а АВ – с линией наибольшего наклона к плоскости П₁.

Рисунок 1.3.30 ­­- Окружность в проецирующей плоскости

 

Тогда проекциями диаметра АВ будут служить отрезки А₁В₁ и А₂В₂=АВ=2R, диаметр CD спроецируется на П₂ в точку С₂ºD₂=0, а на плоскость П₁ в отрезок С₁D₁=CD=2R.

Таким образом в данном случае фронтальной проекцией окружности является отрезок прямой длиной 2R, горизонтальной проекцией – эллипс,

большой осью которого служит отрезок С₁D₁, малой осью – отрезок А₁В₁. Заметим, что малая ось А₁В₁ эллипса совпадает с проекцией n₁ перпендикуляра n к плоскости S. Промежуточные точки эллипса можно построить при помощи двух концентрических окружностей, проведённых на осях С₁D₁ и А₁В₁ как на диаметрах.

Аналогично строят проекции окружности, расположенной в горизонтально проецирующей плоскости Q(Q₁), в соответствии с рисунком 1.3.30, б.