Приток упругой жидкости к точечному стоку на плоскости. Основная формула теории упругого режима.

Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат

. (12.1)

Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/ . Для этого случая решение уравнения (12.1) имеет вид

, (12.2)

где А и С - некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r > 0 и при t = t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥/¥ и определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = рк. Таким образом,

. (12.3)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (10.4) для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Dр = p0 - p по (12.3):

dtз = b*Dрdt0 = . (12.4)

После интегрирования (12.4) в пределах от 0 до ¥ получим объём жидкости t2 , выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А:

. (12.5)

Таким образом в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:

(12.6)

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём

dt2 = Qdt/ и, следовательно, из (12.6) следует

. (12.7)

Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции

и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде

. (12.8)

Формула (12.8) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Рис. 12.1. График интегрально - показательной функции

Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.12.1) и обладает следующими свойствами:

* -Ei(-u) изменяется от 0 до ¥ при изменении аргумента от 0 до ¥;

* функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда

(12.9)

Для малых значений u<1 можно принять

, (12.10)

с погрешностью, не превышающей 0,25% при u < 0,01; 5,7% - при

u < 0,1.

. (12.11)

С учетом соотношения (12.11) основное уравнение (12.8) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД)

. (12.12)

Рис. 12.2. Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье с погрешностью, не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (12.12), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (12.12) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если rк > 1000rc и fo < 3,4.105 или Fo < 0,34.

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rc c постоянным дебитом Q0 (рис.12.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (12.12), а дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления

.

Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r2<<0,03.4kt, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.12.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.