Наращение и дисконтирование потоков денежных сумм

В реальной практике, как правило, приходится иметь дело не с единичными суммами, а с некоторыми потоками денежных сумм, которые регулярно предприятие реально выплачивает либо получает. Денежный поток принято изображать на временной линии , как это показано на рисунке.

Элемент денежного потока принято обозначать CF_k (от Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV ( Present Value), а будущее значение - FV ( Future Value).

Наращение денежных потоков осуществляется с помощью многократного использования формулы (4.7):

,

или

. (4.20)

Пример. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1,000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Решим задачу с использованием временной линии.

Таким образом, через 5 лет предприятие накопит $5,526, которые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых денежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом. Для вычисления будущего значения аннуитета используется формула

, (4.21)

которая следует из (4.20) при CF_k = const.

Расчет будущего значения аннуитета может производиться с помощью специальных финансовых таблиц. Фрагмент этих таблиц помещен в приложении (таблица 2). В частности, с помощью таблицы 2 при r = 5% и n = 5 получаем множитель 5,526, который соответствует результату расчета примера.

Для произвольного значения процентной ставки можно воспользоваться следующей конечной формулой для наращения аннуитета, которая легко получается путем использования суммирования убывающей геометрической прогрессии:

. (4.21¹)

Дисконтирование денежных потоков осуществляется путем многократного использования формулы (4.8), что в конечном итоге приводит к следующему выражению:

,

или

. (4.22)

Пример. Рассмотрим денежный поток с неодинаковыми элементами CF₁=100, CF₂=200, CF₃=200, CF₄=200, CF₅=200, CF₆=0, CF₇=1,000, для которого необходимо определить современное значение (при показателе дисконта 6%). Решение проводим с помощью временной линии:

Вычисление дисконтированных значений отдельных сумм можно производить путем использования таблицы 3, помещенной в приложении.

Дисконтирование аннуитета (CF_j = const) осуществляется по формуле

. (4.23)

Для расчета настоящего (современного) значения аннуитета может быть использована таблица 4 приложения или следующее конечное соотношение:

. (4.23¹)

Пример. Предприятие приобрело облигации муниципального займа, которые приносят ему доход $15,000, и хочет использовать эти деньги для развития собственного производства. Предприятие оценивает прибыльность инвестирования получаемых каждый год $15,000 в 12 %. Необходимо определить настоящее значение этого денежного потока.

Решение проведем с помощью таблицы:

По результатам расчетов мы видим, что

дисконтированное значение денежного потока существенно меньше арифметической суммы элементов денежного потока,

чем дальше мы заходим во времени, тем меньше настоящее значение денег: $15,000 через год стоят сейчас $13,395; $15,000 через 5 лет стоят сейчас $8,505.

Задача может быть решена также с помощью таблицы 4 приложения. При r = 12% и n = 5 по таблице находим множитель дисконтирования 3.605.

Современное значение бесконечного (по времени) потока денежных средств определяется по формуле:

, (4.24)

которая получается путем суммирования бесконечного ряда, определяемого формулой (4.23) при .