Методика решения практических задач

Существует два вида расчетов: проверочный и проектировочный.

При проверочном расчете заданы все внешние силы, задан материал, известны все размеры проверяемой детали. Необходимо ответить на вопрос – выдержит деталь приложенные нагрузки или нет.

В проектировочном расчете известны нагрузки, задан или выбран материал. Необходимо подобрать оптимальные сечения детали.

Методику решения составим на конкретном примере. Кроме двух видов прочностных расчетов определим деформации стержня.

Расчетная схема показана на рис.1.6.

Дано: стержень выполнен из стали 45, имеющей σ_в =598 МПа,

σ_Т = 363 МПа, Е =2*10⁵ МПа; стержень нагружен тремя силами

F₁= 1000 H, F₂= 2000 Н, F₃ = 5000 Н; длины участков стержня

а= 100 мм, в= 150 мм, с= 200 мм; диаметр стержня 16 мм.

Стержень будет работать в неопасных условиях.

Определить:

1) выдержит стержень приложенные нагрузки ?

2) подобрать минимальные сечения по участкам стержня

3) определить деформации каждого участка и стержня в целом

При решении любой задачи у Вас перед глазами должны быть: расчетная схема; исходные данные и условие

а) б) в) г) прочности.

Рис.1.6

Запишем условие прочности

σ = Ν/Α ≤ [σ]

Всегда начинайте с определения допустимых напряжений.

В нашем случае условия работы конструкции неопасные, принимаем n = 2, тогда [σ] = σ_в/n = 598/2 = 299 МПа

Известен диаметр стержня, можем найти площадь сечения

А = π*d²/4 = 3,14*16²/4 = 201 мм²

Используя метод сечений, найдем нормальные силы на участках стержня.

В нашей расчетной схеме стержень жестко защемлен, поэтому рекомендуется правило.

Если в расчетной схеме есть жесткая заделка (защемление), то в методе сечений отбрасывают именно ее, чтобы не определять реакции в этой заделке.

N₁ = F₁ = 1000 Н; N₂ = F₁ + F₂ = 1000 + 2000 = 3000 Н;

N₃ = F₁ + F₂ – F₃ = 1000 + 2000 – 5000 = - 2000 Н.

Эпюра нормальных сил показана на рис.1.6,б.

Видим, что 1-й и 2-й участки стержня растягиваются, а 3-й участок сжимается.

Наиболее опасным является 2-й участок, поскольку в нем возникает максимальная по модулю внутренняя сила. Определим напряжения на этом участке.

σ₂ = N₂/ А = 3000/201 = 14,9 МПа

Запас прочности n = σ_в/ σ₂ = 598/14,9 = 40

Нужен Вам такой запас прочности, если Ваша конструкция работает в неопасных условиях ?

Перейдем к проектировочному расчету. Подберем оптимальные сечения стержня.

В исходных данных не известен диаметр стержня.

В условии прочности выделим площадь сечения

Α ≥ Ν/[σ]

Α₁ ≥ Ν₁/[σ] = 1000/299 = 3,34 мм²; Α₂ ≥ Ν₂/[σ] = 3000/299 = 10,03 мм²;

Α₃ ≥ Ν₃/[σ] = 2000/299 = 6,69 мм².

Определим диаметры участков стержня

d ≥ √4*А/π

d₁ ≥ √4*А1/π = √4*3,34/3,14 = 2,1мм

d₂ ≥ √4*А2/π = √4*10,03/3,14 = 3,6мм

d₃ ≥ √4*А3/π = √4*6,69/3,14 = 2,9мм

Определили минимальные диаметры, получился тонкий трехступенчатый стержень (рис.1.6,в), который выдерживает приложенные нагрузки при принятых неопасных условиях работы. Очевидно, если условия работы были бы более опасными, мы приняли бы больший запас прочности и получили большие диаметры стержня.

Определим деформации участков стержня и всего стержня. Для этого воспользуемся 2-й записью закона Гука

Δl = Ν*l/( Е*Α)

Δl_а = Ν₁*а/( Е*Α₁) = 1000*100/(2*10⁵*3,34) = 0,15 мм

Δl_в = Ν₂*в/( Е*Α₂) = 3000*150/(2*10⁵*10,03) = 0,23 мм

Δl_с = Ν₃*с/( Е*Α₃) = - 2000*200/(2*10⁵*6,69) = - 0,3 мм

Δl = Δl_а + Δl_в + Δl_с = 0,15 + 0,23 – 0,3 = 0,08 мм.

В нашем случае получили, что длина стержня почти не изменилась, поскольку растяжение на 1-м и 2-м участках компенсировалось сжатием 3-го участка. Эпюра деформаций показана на рис.1.6,г.

Если в Ваших практических задачах Вас не устроит слишком большая деформация, можете подобрать сечение, исходя из допустимой деформации. Очевидно, что повторный прочностной расчет не потребуется.

Рассмотрим еще один пример.

Предположим, что Вам необходимо сделать стелаж. А чтобы он не упал вместе с грузом, нужно поставить подкосы. Расчетная схема показана на рис.1.7.

Исходные данные: на стелаже находится распределенная нагрузка q = 5000 Н/м; ширина стелажа в = 0,8 м; угол наклона подкоса α = 35^о; материал подкоса Ст 3, имеющая σ_в = 370 МПа.

Задача: подобрать площадь сечения подкоса.

Решение.

В первую очередь необходимо оценить

Рис.1.7 условия работы конструкции с точки зрения опасности.

Под этим стелажем будут ходить люди, поэтому надежность его крепления должна быть высокой. Условие работы конструкции как минимум средней опасности. Принимаем n = 5. Тогда [σ] = σ_в/n = 370/5 = 74 МПа.

Из условия прочности выразим площадь.

Α ≥ Ν/[σ]

Осталось определить Ν.

Составим уравнение моментов относительно точки О.

Q* в/2 + Ν*h = 0, где Q = q*в – результирующая распределенной нагрузки; h = в*Sinα.

Ν = - q*в/(2* Sinα) = - 5000*0,8/(2*0,57) = - 3510 Н.

Теперь находим площадь подкоса.

Α ≥ Ν/[σ] = 3510/74 = 48 мм².

Площадь сравнительно мала, проходит стальной пруток диаметром всего 8 мм.

Такой результат должен Вас насторожить. Тонкий пруток выдерживает сжатие, но может не проходить по устойчивости, то есть просто изогнется.

Вопросами устойчивости гибких стержней мы с вами займемся в конце раздела. В этой конкретной задаче еще необходимо проверить опорные элементы под настил стелажа на изгиб. Этот вид деформации тоже не оставим без внимания.

Видим, что при рассмотрении более-менее серьезной конструкции расчетами по одному виду деформации не обойтись. Необходимо владеть методиками расчета по всем видам деформаций.

1.6 Деформация сдвига (среза)

С этим видом деформации каждый из Вас многократно сталкивался, когда что-либо резал ножницами. Особенно характерно проявляется последовательность деформации (сначала сдвиг, а затем срез) если ножницы тупые и разболтанные. Обратите внимание на срез листового металла после гильотинных ножниц. Срез не перпендикулярен плоскости листа, а слегка наклонен, кроме того по направлению реза тянется заусенец. Представим эту деформацию графически

Рис.1.8 (рис.1.8).

Силы F – это силы, создающиеся лезвиями ножниц. Вся деформация происходит в зоне прямоугольника abcd, который в результате деформации превращается в паралелограм.

Величина cc¹ ≈ dd¹ называется абсолютным сдвигом.

cc¹/bc = tg γ ≈ γ – относительный сдвиг.

При сдвиге в сечении возникает только поперечная сила Q, следовательно и только касательные напряжения τ. Условие прочности записывается так:

τ = Q/А ≤ [τ] (1.5)

- условие прочности при сдвиге (срезе)

При сдвиге (как и при растяжении) существует зависимость между напряжением и деформацией. Эта зависимость выражается законом Гука.

τ = G*γ (1.6)

- напряжения пропорциональны относительному сдвигу (Закон Гука).

G – модуль сдвига (МПа). Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость

G = Е/[2(1 + μ)], (1.7)

где μ – коэффициент Пуассона

При прочих равных условиях (одинаковые внутренние усилия, равные площади сечений) касательные напряжения более опасны, чем нормальные, поэтому [τ] < [σ].

Рекомендуется [τ] = 0,5…0,6 [σ]. (1.8)

На сдвиг (срез) чаще всего приходится рассчитывать заклепки и сварные швы.

В качестве примера рассмотрим комбинированное соединение. Расчетная схема показана на рис.1.9.

Дано: F = 10000 Н; σв = 400 МПа.

Рис.1.9 Определить: диаметры всех заклепок и

параметры сварного шва.

Запишем условие прочности

τ = Q/А ≤ [τ]

Предположим, что условие работы конструкции средней опасности. Принимаем n = 4.

[σ] = σ_в/ n = 400/4 = 100 МПа. [τ] = 0,5 [σ] = 50 МПа.

Проанализируем рассчитываемую конструкцию. Она состоит из двух частей, работающих независимо друг от друга. Левая часть ( 3 заклепки) – это одна бригада; правая часть (заклепка и сварной шов) – вторая бригада. Поэтому решение задачи раскладывается на две части.

Рассмотрим левую часть.

В сечениях заклепок возникает поперечная сила Q_∑ = F = 10000 Н. Из условия прочности суммарная площадь срезов равна: А_∑ ≥ Q_∑/[τ] = 10000/50 = 200 мм². Это общая площадь срезов, а нам нужна площадь одного среза. Для ее нахождения запишем простую формулу.

А_∑ = А₁*i*m, (1.9)

где А₁ – площадь одного среза; i – число заклепок; m – число срезов на одной заклепке.

А₁ = А_∑ /( i* m) = 200/(3*2) = 33,3 мм².

А₁ = π*d²/4 ≈ 0,8 d². Отсюда

d ≥ √ А₁/0,8 = √ 33,3/0,8 = 6,5 мм.

Диаметры заклепок должны быть не меньше 6,5 мм.

Изменим условия задачи.

Предположим, что у нас нет таких заклепок, а есть 2 заклепки диаметром 5 мм и много диаметром 4 мм. Вопрос: сколько заклепок диаметром 4 мм нужно добавить к 2-м заклепкам диаметром 5 мм.?

Получив исходные данные, всегда используйте их максимально, определяйте все, что они могут дать. В нашем случае:

А_1d5 = 0,8 d² = 0,8*5² = 20 мм². А_{∑ d5} = А_{1 d5}*i*m = 20*2*2 = 80 мм².

А_1d4 = 0,8 d² = 0,8*4² = 12,8 мм².

Общая площадь срезов А_∑ ≥ 200 мм². Из них 80 мм² займут заклепки диаметром 5 мм. На заклепки диаметром 4 мм останется А_ост. = 120 мм². Отсюда i ≥ А_ост./( А_1d4* m) = 120/(12,8*2) = 4,7.

Нужно дополнительно 5 заклепок диаметром 4 мм.

Проанализируйте внимательно весь ход нашего решения. Вы убедитесь, что имея всего лишь условие прочности и вспомогательную формулу (1.9), Вы можете решить любую задачу с заклепками, в любой ее постановке не зависимо от количества заклепок и количества срезов на них.

Предлагаю Вам самим составить для себя несколько расчетных схем и разобрать их.

Рассмотрим правую часть.

Здесь решение не однозначно, поскольку силу F удерживают два разных элемента: заклепка и сварной шов. Можем записать

Q_∑з + Q_∑ш = F. Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Для получения 2-го уравнения Вам самим придется решить, какую часть нагрузки Вы отдадите заклепке, а какую шву. Предположим, Вы решили Q_∑з = 0,2 F, соответственно Q_∑ш = 0,8 F. Теперь решение задачи можно продолжить.

А_∑з ≥ Q_∑з/[τ] = 2000/ 50 = 40 мм². А_1з = А_∑з /( i* m) = 40/(1*2) = 20 мм².

dз ≥ √ А_1з/0,8 = √ 20/0,8 = 5 мм.

А_∑ш ≥ Q_∑ш/[τ] = 8000/50 = 160 мм².

Из чего складывается суммарная площадь среза шва ?

В расчетах сварной шов рассматривается как равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.1.10). Если шов лопнет, то он лопнет по самому тонкому месту, что

Рис.1.10 составляет 0,7к. Очевидно, что шов лопнет по всей длине (две детали распались).

Отсюда: А_∑ш = 0,7к*l_∑, где l_∑ - общая длина шва.

Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Одним из параметров задаются, а второй определяют. При сварке тонколистового материала обычно задают катет, равный толщине листа, а l_∑ определяют. Если места под сварку мало, задают l_∑ по контуру примыкания, неизвестным остается к. В каждом конкретном случае на этот вопрос Вам придется отвечать самим.

В нашем случае зададимся катетом – к = 3мм., тогда

l_∑ ≥ А_∑ш/(0,7*к) = 160/(0,7*3) = 76 мм.

Исходя из полученного результата, Вы выберете на конструкции места под сварку и укажете их на чертеже. При этом общая длина швов не менее 76 мм.

1.7 Деформация смятия

При работе конструкций (особенно в динамическом режиме) в элементах соединений (болтовых, шпоночных и др.) возникает деформация смятия. Сечение элемента искажается, например, круглое сечение становится овальным, боковая поверхность шпонки увеличивается в размерах, при этом уменьшается ширина шпонки и т.д. В результате в соединении появляются не допустимые зазоры и люфты. Поэтому заклепки, болты, шпонки и др. кроме расчета на сдвиг, проверяют на смятие.

Расчетная схема заклепки на смятие показана на рис.1.11.

Боковая поверхность заклепки сминается (сжимается), следовательно на поверхности возникают нормальные напряжения σ_см. Условие прочности запишем в виде

Рис.1.11 σ_см = F/А_см ≤ [σ]_см (1.10)

- условие прочности на смятие

Очевидно, что смять (раздавить) стержень труднее, чем его разорвать. Следовательно [σ]_см > [σ]. Рекомендуется [σ]_см ≈ 2[σ].

Осталось определить А_см.

Сминается боковая поверхность заклепки. При разных толщинах листов наибольшая деформация будет в зоне тонкого листа. А вот какая часть окружности попадет под смятие совершенно не очевидно. Считается, что эта часть будет не меньше d. Следовательно можно записать А_см = h_min * d.

Деформация смятия – проверочный вид деформации, то есть все материалы, размеры и силы известны. Ваша задача ответить на вопрос – выдержит или нет ?. Если ответ будет отрицательным, нужно увеличить А_см за счет d и h_min или количества заклепок.

Для практики рекомендую составить для себя несколько расчетных схем и разобрать их в численном виде.

1.8 Геометрические характеристики сечений

Это вспомогательный материал, но то, что мы рассмотрим в этом параграфе, потребуется для решения практических задач в деформациях кручения и изгиба, а также при расчетах на устойчивость. Не пытайтесь дать физические ассоциации рассматриваемым характеристикам. Невозможно представить геометрическую характеристику плоского сечения с кубической размерностью или размерностью в 4-й степени. Воспринимайте это как математическую абстракцию, необходимую нам для решения практических задач.

S_x = у* dA = А*y_с –

называется статическим моментом площади сечения относительно оси х.

S_y = х* dA = A*х_с –

называется статическим моментом площади сечения относительно оси у.

Эти моменты позволяют определить координаты центра тяжести составного сечения.

х_с = S_y/А; y_с = S_x/А

Jx = y²*dA –

называется осевым моментом инерции площади сечения относительно оси х.

Аналогично Jy = х²*dA - относительно оси у.

Jр = ρ²*dA - называется полярным моментом инерции площади сечения.

На рис.1.12 показано произвольное сечение, в котором выделена маленькая площадь dA.

Запишем Jр = ρ²*dA = ( х² + y²)*dA = Jу + Jx.

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

Рис.1.12

Рассмотрим несколько простых сечений.

Круглое сечение (рис.1.13, а).

Jр_o = ρ²*dA =

ρ²* 2*π*ρ*dρ = π*r⁴/2 = π*d⁴/32 ≈ 0,1 d⁴

Рис.1.13

Jx_o = Jу_o = Jр_o/2 = 0,05 d⁴

Прямоугольное сечение (рис.1.13, б)

Jx_ڤ = y²*dA = y²*b*dy = b*h³/12; Jy_ڤ = h* b³/12

Составное сечение (рис.1.13, в)

Момент инерции составного сечения относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции отдельных элементов сечения относительно собственных центральных осей, плюс сумма произведений площадей элементов на квадраты расстояний от выбранной оси до собственных осей элементов.

Для сечения (рис.1.13, в) получим

Jx_∑ = Jx + Jx₁ + Jx₂ + А₁*(Н/2 + h₁/2)² + А₂*( Н/2 + h₂/2)² =

= В*Н³/12 + b₁*h₁³/12 + b₂*h₂³/12 + b₁*h₁*(Н/2 + h₁/2)² +

+ b₂*h₂*( Н/2 + h₂/2)².

Jy_∑ = Jy + Jy₁ + Jy₂ = H*B³/12 + h₁* b₁³/12 + h₂* b₂/12.

Моменты сопротивления сечения (W).

Моменты сопротивления сечения определяются следующим образом:

берется соответствующий осевой или полярный момент инерции и делится на максимальное расстояние от оси до периферии сечения.

Моменты сопротивления сечения изгибу (Wх или Wу).

Определим Wх и Wу для сечений, приведенных на рис.1.13.

Круглое сечение.

Wх_о = Wу_о = 2Jx_o/ d = 0,1 d³

Прямоугольное сечение

Wх_ڤ = 2Jx_ڤ/ h = b*h²/6. Wу_ڤ = 2Jу_ڤ/ b = h*b²/6.

Составное сечение

Для верхних волокон

Wх_∑в = Jx_∑/( Н/2 + h₁)

Для нижних волокон

Wх_∑н = Jx_∑/( Н/2 + h₂)

Для элемента 1

Wу₁ = 2Jy_∑/ b₁

Для элемента 2

Wу₂ = 2Jy_∑/ b₂

Момент сопротивления сечения кручению (Wр)

Мы с вами будем рассматривать кручение только круглых сечений, для которых

Wр_о = 2Jр_o/ d = 0,2 d³

Если сечение кольцевое (труба) с диаметрами d1 – внутренний диаметр; d2 – внешний диаметр, то Jр = 0,1(d2⁴ - d1⁴), соответственно

Wр = 2Jр/ d2 = 0,2*(d2⁴ - d1⁴)/ d2

В каких видах расчетов нам потребуются приведенные выше геометрические характеристики сечений ?

Wх или Wу – входит в условие прочности на изгиб.

Wр - входит в условие прочности на кручение.

Jx или Jy – нужен при определении перемещений в деформации изгиба.

Jр - – нужен при определении углов закручивания в деформации кручения.

Для стандартных профилей (двутавр, швеллер) Jx; Jy; Wх; Wу даны в любой книге по сопротивлению материалов.

1.9 Деформация кручения

Этот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).

Рассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к свободному концу стержня (рис.1.14).

Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а

Рис.1.14 прямоугольники превратятся в паралелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в паралелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), а там в сечении возникали только касательные напряжения.

Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.

Исходя из выше изложенного, можно записать условие прочности

τ = Мкр/ Wр ≤ [τ] - условие прочности при кручении (1.11)

Wр - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).

Кроме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид

φ = Мкр*l/(G* Jр), рад. (1.12)

Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.

Методику расчетов на кручение рассмотрим на конкретном примере (рис.1.15).

Дано:

Мкр₁ = 100 Н*м; Мкр₂ = 200 Н*м;

Мкр₃ = 500 Н*м;

σ_в = 900 МПа; G = 8*10⁴ МПа;

a = 200 мм; b = 150 мм; c = 100 мм;

d = 20 мм.

а) б) в)

Рис.1.15

Определить:

1 – построить эпюру крутящих моментов;

2 – определить, выдержит стержень приложенную нагрузку или нет ?

3– подобрать минимальные диаметры участков стержня;

4 – построить эпюру углов закручивания.

Решение.

Запишем условие прочности

τ = Мкр/ Wр ≤ [τ]

Оценим условия работы конструкции. Предположим, что условия работы опасные, принимаем n = 6. Тогда [σ] = σ_в/ n = 900/6 = 150 МПА;

[τ] = 0,5[σ] = 75 МПа.

С помощью метода сечений определим внутренние моменты.

Мкр _I = Мкр₁ = 100 Н*м. Мкр _{I I} = Мкр₁ - Мкр₂ = 100 – 200 = - 100 Н*м.

Мкр _{I I I} = Мкр₁ - Мкр₂ + Мкр₃ = 100 – 200 + 500 = 400 Н*м.

Построим эпюру крутящих моментов (рис.1.15, б).

Зная d, определим Wр = 0,2 d³ = 0,2*20³ = 1600 мм³.

Наиболее опасным является 3-й участок, поскольку в нем возникает наибольший (по модулю) крутящий момент. Напряжения на этом участке равны

τ = Мкр _{I I I}/ Wр = 400*10³/1600 = 250 МПа > [τ] = 75 МПа.

Вывод – стержень не выдержит.

Выделим из условия прочности Wр.

Wр ≥ Мкр/[τ].

Найдем Wр на каждом участке стержня

Wр _I ≥ Мкр _I /[τ] = 100*10³/75 = 1333 мм³.

Wр _{I I} ≥ Мкр _{I I} /[τ] = 100*10³/75 = 1333 мм³ ( момент берется по модулю).

Wр _{I I I} ≥ Мкр _{I I I} /[τ] = 400*10³/75 = 5333 мм³.

Определим диаметры на участках стержня по формуле d ≥ ³√5 Wр.

d _I ≥ ³√5 Wр _I = ³√5*1333 = 18,8 ≈ 19 мм. d _{I I} = d _I = 19 мм.

d _{I I I} ≥ ³√5 Wр _{I I I} = ³√5*5333 = 29,9 мм ≈ 30 мм.

Мы получили равнопрочный стержень, у которого напряжения во всех сечениях одинаковые и равны [τ] = 75 МПа, а вес минимальный из всех возможных при принятом коэффициенте запаса прочности.

Запишем формулу для определения углов закручивания

φ = Мкр*l/(G* Jр) , рад, где Jр = 0,1 d⁴ (1 рад. = 57,3 ^о).

φ_а = Мкр _I * a /(G* Jр _I) = 100*10³*200/(8*10⁴*0,1* 19⁴) = 0,019 рад.= 1,1 ^о .

φ_b = Мкр _{I I} * b /(G* Jр _{I I}) = - 100*10³*150/(8*10⁴*0,1* 19⁴) = - 0,014 рад.= - 0,8 ^о

φ_c = Мкр _{I I I} * c /(G* Jр _{I I I}) = 400*10³*100/(8*10⁴*0,1* 30⁴) = 0,006 рад.= 0,4 ^о .

φ_∑ = φ_а + φ_b + φ_c = 1,1 – 0,8 + 0,4 = 0,7 ^о .

Эпюра углов закручивания показана на рис.1.15, в.

1.10 Деформация изгиба

В инженерной практике рассчитывать на изгиб элементы конструкций приходится чаще всего. Эти элементы обычно называют балками. Мы тоже будем использовать этот термин. Рассмотрим изгиб балки, шарнирно закрепленной на двух опорах, рис.1.16.

Видим, что при изгибе верхние волокна балки сжались, а нижние растянулись. Следовательно, основными напряжениями в сечениях балки будут нормальные напряжения σ. В произвольном сечении I - I в общем случае могут возникнуть 3 внутренних усилия: N; Q; Мизг.

Рис.1.16 Однако, в условии прочности учитывается только Мизг. Это не значит, что мы не должны уметь определять N и Q, особенно поперечную силу Q, поскольку в основном она определяет нагрузки в узловых точках балки.

Запишем условие прочности.

σ = Мизг /W ≤ [σ] (1.13)

- условие прочности при изгибе

Здесь W – момент сопротивления сечения изгибу (см. геометрические характеристики сечений).

На рис.1.16 показана эпюра напряжений по высоте сечения. Видим, что максимальные напряжения находятся на периферии сечения, при этом отрицательные напряжения в сжатых волокнах постепенно переходят в положительные напряжения в растянутых волокнах. В средних сечениях балки проходит нейтральный слой (σ = 0). Следовательно, при изгибе балки ее середина (по высоте сечений) не работает. Учитывая этот факт, для уменьшения веса конструкции, необходимо подбирать такие сечения, у которых основной материал расположен на периферии, а в середине он минимален.

Рис.1.17

На рис.1.17 показано несколько стандартных профилей и дано соотношение их весов при одинаковых значениях W.За 1Р принят вес двутавра.

Анализируя данные, приведенные на рис.1.17, видим, что при одинаковой прочности наиболее легкой будет конструкция, выполненная из швеллера. Например, конструкция из швеллера весит 100 кг, аналогичная конструкция, выполненная из круга, будет весить 444 кг. А это деньги и не малые, учитывая стоимость металла. Кроме того, такая конструкция из-за больших моссо-габаритных параметров будет не конкурентно способной.

Рассмотрим несколько примеров расчета балок на изгиб. В первую очередь вернемся к рис.1.7. Нужно рассчитать опорные элементы под настил стелажа. Расчетная схема показана на рис.1.18.

Дано:

q =5000 Н/м;в =0,8 м;σ_в =370 МПа;n = 5;

[σ]= σ_в/n =370/5 = 74 МПа.

Требуется:

подобрать прямоугольную тонкостенную трубу.

Решение.

Определим реакции опор.

Рис.1.18

∑M_В = 0. R_А*b – Q*b/2 = 0.

Здесь Q = q*b – результирующая распределенной нагрузки. R_А = Q*b/2b = Q/2 = 5000*0,8/2 = 2000 Н. Нагрузка симметрична относительно опор, поэтому R_В = R_А = 2000 Н.

Проверка.

∑F_y = 0. R_А + R_В – Q = 0. 2000 + 2000 – 5000*0,8 = 0.

Реакции найдены правильно.

Построим эпюру моментов изгибающих.

М(z) = R_А*z – q*z*z/2. Здесь z– текущая координата.

Поскольку зависимость момента от zквадратичная, необходимо длину балки разбить на несколько участков, найти моменты на границах участков и построить эпюру.

z = 0.М(0) = 0.

z = b/4. М(b/4) = R_А* b/4 - q* b²/32 = 2000*0,8/4 – 5000*0,8²/32 = 300 Н*м.

z = b/2. М(b/2) = R_А* b/2 - q* b²/8 = 2000*0,8/2 – 5000*0,8²/8 = 400 Н*м.

z =3/4b. М(3/4b)= R_А* 3/4b - q*9b²/32 = 2000*3*0,8/4 – 5000*9*0,8²/32 = 300 Н*м.

z = b. М(b) = R_А* b - q* b²/2 = 2000*0,8 – 5000*0,8²/2 = 0.

По полученным данным построили эпюру Мизг.(рис.1.18).

Из условия прочности σ = Мизг /W ≤ [σ] выразим W.

W ≥ Мизг/[σ] =400*10³/74 = 5405 мм³.

Для тонкостенной прямоугольной трубы (рис.1.19) Wхопределяется по формуле.

Wх = δ*Н²*(3В/Н + 1)/3.

Предположим, что мы хотим использовать трубу, один из наружных размеров которой равен 40мм. Имеются трубы: 1) 40х40х2; 2) 40х40х2,5; 3) 40х40х3; 4) 40х60х2;

Рис.1.19 5) 40х60х2,5; 6) 40х60х3.

Нам желательна труба с наименьшим весом.

Находим Wхдлякаждой из труб.

Wх₁ = 2*38²*4/3 = 2888 мм³ < 5405 мм³ – не подходит.

Wх₂ = 2,5*37,5²*4/3 = 4688 мм³ < 5405 мм³ – не подходит.

Рис.1.19 Wх₃ = 3*37²*4/3 = 5476 мм³ > 5405 мм³ – подходит.

Wх₄ = 2*58²*(3*38/58 + 1)/3 = 6650 мм³ > 5405 мм³ – подходит.

Сравниваем две трубы по весу. Их веса пропорциональны площадям сечений.

А₃ = 4Н* δ= 4*37*3 = 444 мм².

А₄ = (2Н + 2В)* δ =(2*58 + 2*38)*2 = 384 мм².

Следовательно труба 40х60х2 легче трубы 40х40х3,

больше того она прочнее в 6650/5476 = 1,2 раза.

Выбор ясен – принимаем трубу 40х60х2.

Решим более сложную задачу.

Необходимо подобрать швеллер для элемента рамы, на который действуют: распределенная нагрузка, изгибающий момент и сосредоточенная сила. Расчетная схема показана на рис.1.20.

Дано:

F =20 кН;М =5 кН*м;q =20 кН/м;

материал Сталь 20, имеющаяσ_в =412 МПа;

a =2 м;b =1 м;c =1 м;d =1 м;l =5 м.

Условия работы конструкции не высокой опасности. Достаточно принять коэффициент запаса прочности n = 3.

Соответственно [σ] = σ_в/ n =412/3 = 137 МПа.

Требуется:

1 – построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2 – подобрать необходимый швеллер.

Решение.

Запишем условие прочности

σ = Мизг /W ≤ [σ]. Выразим W.

W ≥ Мизг/[σ].

Необходимо найти максимальный Мизг.

Определим реакции опор.

∑M_В = 0.

R_А*l – Q*(a/2 + b + c +d) + M – F*d = 0.

Здесь Q = q* a = 20*2 = 40 кН.

R_А = [Q*(a/2 + b + c +d) - M + F*d]/l =

= [40*(1 + 1 + 1 + 1) – 5 + 20*1]/5 = 35 кН.

∑M_А = 0.

R_В*l – F*( a + b + c) - M - Q*a/2 = 0.

R_В = [F*( a + b + c) + M + Q*a/2]/l =

Рис.1.20= (20*4 + 5 + 40*1)/5 = 25 кН.

Проверка.

∑F_Y = 0. R_А + R_В – Q – F = 35 + 25 – 40 – 20 = 0.

Построим эпюру поперечных сил.

Q(z₁) = R_А – q* z₁. 0 ≤ z₁ ≤ a.

Q(0) = R_А = 35 кН. Q(а) = R_А – q*а = 35 – 20*2 = - 5 кН.

Q(z₂) = Q(z₃) = R_А – Q = 35 – 40 = - 5 кН.

Q(z₄) = R_А – Q – F = 35 – 40 - 20 = - 25 кН. 0 ≤ z₄ ≤ d.

При z₄ = d, Q(d) = R_А – Q – F + R_В = 35 – 40 –20 +25 = 0.

Таким образом система уравновесилась – с 0 началась и 0-м закончилась.

Построим эпюру моментов изгибающих.

М(z₁) = R_А* z₁ - q* z₁²/2. 0 ≤ z₁ ≤ a. Зависимость М от z₁ не линейная, поэтому, как и в предыдущей задаче, разобьем отрезок ана 4 участка и найдем моменты на границах участков.

М(0) = 0.

М(а/4) = R_А* а/4 - q* а²/32 = 35*0,5 – 20*0,125 = 15 кН*м.

М(а/2) = R_А* а/2 - q* а²/8 = 35*1 – 20*0,5 = 25 кН*м.

М(3/4а) = R_А* 3/4а - q* а²*9/32 = 35*1,5 – 20*1,125 = 30 кН*м.

М(а) = R_А* а - q* а²/2 = 35*2 – 20*2 = 30 кН*м.

М(z₂) = R_А* (а + z₂) – Q*(а/2 + z₂). 0 ≤ z₂ ≤ b.

М(0) = R_А*а – Q*а/2 = 35*2 – 40*1 = 30 кН*м.

М(b) = R_А* (а + b) – Q*(а/2 + b) = 35* 3 – 40*2 = 25 кН*м.

М(z₃) = R_А* (а + b + z₃) – Q*(а/2 + b + z₃) + М. 0 ≤ z₃ ≤ с.

М(0) = R_А*(а + b) – Q*(а/2 + b) + М = 35* 3 – 40*2 + 5 = 30 кН*м.

М(с) = R_А* (а + b + с) – Q*(а/2 + b + с) + М = 35*4 – 40* 3 + 5 = 25 кН*м.

М(z₃) = R_А* (а + b + с + z₄) – Q*(а/2 + b + с + z₄) + М – F* z_4. 0 ≤ z₄ ≤ d.

М(0) = R_А* (а + b + с) – Q*(а/2 + b + с) + М = 35*4 – 40* 3 + 5 = 25 кН*м.

М(d) = R_А* (а + b + с + d) – Q*(а/2 + b + с + d) + М – F* d =

35*5 – 40*4 + 5 – 20*1 = 0.

По полученным данным построена эпюра моментов изгибающих. Максимальный изгибающий момент равен М= 30 кН*м.

Определим Wх.

Wх ≥ Мизг/[σ] =30*10⁶/ 137 = 219*10³ мм³ = 219 см³.

Сомножитель 10⁶появился при переводе кН в Н и м в мм.

В справочной литературе Wхдается в см³.

Нам нужен швеллер, у которого Wх ≥219 см³.

Ближайший швеллер, который нам подходит, № 24, у него Wх= 242 см³.

Рассмотренная нами методика прочностных расчетов на изгиб позволит Вам решать большинство Ваших реальных инженерных задач. Рекомендую Вам попрактиковаться, решив несколько задач из рекомендованной литературы или из Вашей практической деятельности.